Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
LG a
a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({135^o},{150^o},{180^o}\) về GTLG của các góc \({45^o},{30^o},{0^o}\)
\(\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\)
Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 + 6\sqrt 3 + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{12 + 8\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
LG c
c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)
\( \Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.\)
LG b
b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({120^o},{135^o}\) về GTLG của các góc \({60^o},{45^o}\)
\(\cos {120^o} = - \cos {60^o}, \cot {135^o} = - \cot {45^o}\)
Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} = - \cos {60^o}\\\cot {135^o} = - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}\)
\( \Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.\)
- LG a
- LG b
- LG c
Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({135^o},{150^o},{180^o}\) về GTLG của các góc \({45^o},{30^o},{0^o}\)
\(\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\)
Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 + 6\sqrt 3 + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{12 + 8\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({120^o},{135^o}\) về GTLG của các góc \({60^o},{45^o}\)
\(\cos {120^o} = - \cos {60^o}, \cot {135^o} = - \cot {45^o}\)
Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} = - \cos {60^o}\\\cot {135^o} = - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}\)
\( \Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.\)
c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)
\( \Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.\)
Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức thuộc chương 1: Mệnh đề và tập hợp. Bài tập này tập trung vào việc xác định các tập hợp, thực hiện các phép toán hợp, giao, hiệu của các tập hợp và chứng minh các đẳng thức tập hợp.
Nội dung bài tập 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Bài tập yêu cầu:
- Liệt kê các phần tử của các tập hợp cho trước.
- Xác định các tập hợp dựa trên các điều kiện cho trước.
- Thực hiện các phép toán hợp, giao, hiệu của các tập hợp.
- Chứng minh các đẳng thức tập hợp bằng cách sử dụng các tính chất của phép toán tập hợp.
Lời giải chi tiết bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau:
- Tập hợp: Một tập hợp là một bộ sưu tập các đối tượng được xác định rõ ràng.
- Phần tử: Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp.
- Phép hợp (∪): Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp.
- Phép giao (∩): Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả hai tập hợp.
- Phép hiệu (\): Tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc tập hợp thứ nhất nhưng không thuộc tập hợp thứ hai.
Ví dụ minh họa:
Cho A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 5}.
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
- A ∩ B = {2}
- A \ B = {1, 3}
Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
- Dạng 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.
- Dạng 2: Xác định tập hợp dựa trên điều kiện.
- Dạng 3: Thực hiện các phép toán tập hợp.
- Dạng 4: Chứng minh đẳng thức tập hợp.
Phương pháp: Xác định rõ các điều kiện để một phần tử thuộc tập hợp và liệt kê tất cả các phần tử thỏa mãn các điều kiện đó.
Phương pháp: Phân tích điều kiện và tìm ra các phần tử thỏa mãn điều kiện đó.
Phương pháp: Áp dụng định nghĩa của các phép toán hợp, giao, hiệu để tìm ra tập hợp kết quả.
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của phép toán tập hợp để biến đổi một vế của đẳng thức thành vế còn lại.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
- Bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức
Lưu ý khi giải bài tập về tập hợp
- Luôn xác định rõ các tập hợp và các điều kiện liên quan.
- Sử dụng đúng định nghĩa và tính chất của các phép toán tập hợp.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
