Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - Nền tảng Toán 10
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về tích vô hướng, cách tính toán và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán hình học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và đầy đủ, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
1. GÓC GIỮA HAI VECTO 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) , kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
a) Cách xác định góc: Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}\).
b) Các trường hợp đặc biệt:
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0 \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \;\;\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)
3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x';y')\).
Khi đó \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = xx' + yy'\)
Hệ quả:
+) \(\overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \; \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = x.x + y.y = {x^2} + {y^2}\)
+) Tìm góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\;\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\;\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\)
b) Công thức tính tích vô hướng khi biết độ dài:
Theo định lí cosin: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\)
c) Tính chất
Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)
Hệ quả
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học phẳng và không gian.
1. Định nghĩa Tích vô hướng
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:
a.b = |a||b|cos(θ)
Trong đó:
- |a| và |b| lần lượt là độ dài của vectơ a và b.
- θ là góc giữa hai vectơ a và b (0 ≤ θ ≤ 180°).
2. Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (xa; ya) và b = (xb; yb). Tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:
a.b = xaxb + yayb
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (xa; ya; za) và b = (xb; yb; zb). Tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:
a.b = xaxb + yayb + zazb
3. Tính chất của Tích vô hướng
- a.b = b.a (Tính giao hoán)
- a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng)
- k(a.b) = (ka).b = a.(kb) (Tính chất kết hợp với phép nhân với một số thực)
- a.a = |a|2
4. Ứng dụng của Tích vô hướng
- Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
- Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.
- Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là a.b / |b|
5. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a.b.
Giải:a.b = 2*1 + (-1)*3 = 2 - 3 = -1
Ví dụ 2: Cho a = (1; 2; -1) và b = (0; -1; 2). Tính a.b.
Giải:a.b = 1*0 + 2*(-1) + (-1)*2 = 0 - 2 - 2 = -4
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
