Bài 25. Nhị thức Newton

Bài 25 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Kết nối tri thức, giới thiệu về Nhị thức Newton – một công cụ mạnh mẽ trong Đại số tổ hợp, cho phép khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả.

1. Khái niệm về Nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một công thức toán học dùng để khai triển lũy thừa của một tổng. Cụ thể, công thức Nhị thức Newton cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n thành một tổng các số hạng, mỗi số hạng có dạng C(n, k) * a^(n-k) * b^k, trong đó:

n là số mũ của biểu thức.
k là một số nguyên từ 0 đến n.
C(n, k) là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

2. Tam giác Pascal và hệ số nhị thức

Tam giác Pascal là một công cụ hữu ích để tính toán các hệ số nhị thức. Mỗi hàng của tam giác Pascal tương ứng với một giá trị của n, và các số trong hàng đó là các hệ số nhị thức C(n, k) với k từ 0 đến n. Ví dụ:

n	Hệ số nhị thức
0	1
1	1, 1
2	1, 2, 1
3	1, 3, 3, 1
4	1, 4, 6, 4, 1

3. Các tính chất của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có một số tính chất quan trọng:

Tổng các hệ số nhị thức trong khai triển (a + b)^n bằng 2^n.
Các hệ số nhị thức đối xứng qua trục giữa của tam giác Pascal.

4. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Giải các bài toán về xác suất.
Tính toán các giá trị gần đúng.
Chứng minh các đẳng thức đại số.

5. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về Nhị thức Newton:

Khai triển (x + 2)^5.
Tìm hệ số của x^3 trong khai triển (x - 1)^6.
Chứng minh rằng tổng các hệ số nhị thức trong khai triển (a + b)^n bằng 2^n.

6. Mở rộng và nâng cao

Ngoài công thức Nhị thức Newton cơ bản, còn có một số mở rộng và nâng cao, chẳng hạn như khai triển đa thức với nhiều biến. Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Nhị thức Newton. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.