THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về xác suất, giúp bạn hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá khái niệm biến cố, không gian mẫu, và cách tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển. Montoan.com.vn cam kết mang đến cho bạn những bài giảng dễ hiểu, bài tập đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Biến cố
A. Lý thuyết
1. Biến cố
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi phép thử được thực hiện. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được ký hiệu là Ω. Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra. |
Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.
Mỗi biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Ω. Tập con này là tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó. |
Nhận xét: Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập ∅.
Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”. Biến cố đối của E được kí hiệu là \(\overline E \). |
Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối \(\overline E \) là tập hợp tất cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của E. Vậy biến cố \(\overline E \) là phần bù của E trong Ω: \(\overline E = {C_\Omega }E\).
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:
Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\) trong đó n(E), n(Ω) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E. |
Nhận xét:
+ \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).
+ \(0 \le P(E) \le 1\) với mỗi biến cố E.
3. Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
B. Bài tập
Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.
Giải:
Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.
Bài 2: Gieo một đồng xu cản đối liên tiếp ba lần. Gọi E là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa". Tính xác suất của biến cố E.
Giải:
Kí hiệu S và N tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa. Không gian mẫu Ω = {SSN; SNS; SNN; SSS; NSN; NNS; NNN; NSS}. E = {SSN; SNS; NSS}.
Ta có n(Ω) = 8; n(E) = 3. Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Vậy \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\).
Bài 3: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Nội dung biến cố đối M của M là gì?
c) Các biến cố M và \(\overline M \) là tập con nào của không gian mẫu?
Giải:
a) Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
b) Biến cố đối M của M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”.
c) Ta có \(M = \{ 2;4;6\} \subset \Omega \); \(\overline M = {C_\Omega }M = \{ 1;3;5\} \subset \Omega \).
Xác suất là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về sự không chắc chắn. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường gặp những sự kiện mà kết quả của chúng không thể đoán trước một cách chính xác. Ví dụ, khi tung một đồng xu, chúng ta không thể biết chắc chắn mặt nào sẽ xuất hiện. Xác suất giúp chúng ta định lượng mức độ khả năng xảy ra của một sự kiện.
Biến cố là một sự kiện mà chúng ta quan tâm đến kết quả của nó. Ví dụ, khi tung một đồng xu, biến cố 'mặt ngửa xuất hiện' là một biến cố. Biến cố có thể là đơn giản hoặc phức tạp. Một biến cố đơn giản là một sự kiện chỉ có một kết quả duy nhất. Một biến cố phức tạp là một sự kiện có nhiều kết quả khác nhau.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm. Ví dụ, khi tung một đồng xu, không gian mẫu là {mặt ngửa, mặt sấp}. Khi gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Định nghĩa cổ điển của xác suất được áp dụng khi không gian mẫu là hữu hạn và tất cả các kết quả trong không gian mẫu đều có khả năng xảy ra như nhau. Xác suất của một biến cố A được tính bằng công thức:
P(A) = (Số kết quả thuận lợi cho A) / (Tổng số kết quả có thể xảy ra)
Ví dụ, khi gieo một con xúc xắc, xác suất để xuất hiện mặt 3 là:
P(xuất hiện mặt 3) = 1 / 6
Xét thí nghiệm rút một lá bài từ một bộ bài 52 lá. Tính xác suất để rút được lá Át.
Vậy, xác suất để rút được lá Át là:
P(rút được lá Át) = 4 / 52 = 1 / 13
Định nghĩa cổ điển của xác suất chỉ áp dụng khi các kết quả trong không gian mẫu có khả năng xảy ra như nhau. Trong nhiều trường hợp thực tế, điều này không đúng. Ví dụ, khi tung một đồng xu bị lệch, mặt ngửa có khả năng xuất hiện cao hơn mặt sấp. Trong những trường hợp này, chúng ta cần sử dụng các định nghĩa xác suất khác, chẳng hạn như định nghĩa tần suất.
Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất là nền tảng quan trọng để hiểu về xác suất. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của mình.
