Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 24 trong sách giáo khoa Toán 10 - Kết nối tri thức tập 2 giới thiệu về ba khái niệm quan trọng trong Đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán đếm trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác.

1. Hoán vị

Định nghĩa: Hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính theo công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính theo công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 10 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₁₀² = 10! / (10-2)! = 10 x 9 = 90

3. Tổ hợp

Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính theo công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự của tất cả các phần tử.
Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự của một số phần tử được chọn.
Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 cầu thủ để đá phạt?

Giải: Đây là bài toán tổ hợp vì không quan tâm đến thứ tự của các cầu thủ được chọn. Số cách chọn là C₁₁⁵ = 11! / (5! * 6!) = 462

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Đây là bài toán chỉnh hợp vì cần sắp xếp các chữ số theo một thứ tự nhất định. Số cách tạo thành là A₅³ = 5! / (5-3)! = 5 x 4 x 3 = 60

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.