Bài 2. Định lí cosin và định lí sin

Bài 2 trong chương IV của sách Toán 10 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào hai định lí quan trọng trong hình học lượng giác: định lí cosin và định lí sin. Hai định lí này đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là khi biết một số cạnh và góc của tam giác.

1. Định lí cosin

Định lí cosin là một mở rộng của định lí Pythagore, áp dụng cho mọi tam giác, không chỉ tam giác vuông. Định lí phát biểu rằng:

Trong tam giác ABC, ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
A, B, C là số đo ba góc của tam giác.

Định lí cosin được sử dụng để:

Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
Tính số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh.

2. Định lí sin

Định lí sin thiết lập mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện. Định lí phát biểu rằng:

Trong tam giác ABC, ta có: a/sinA = b/sinB = c/sinC

Định lí sin được sử dụng để:

Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
Tính số đo một góc khi biết độ dài các cạnh và góc đối diện.

3. Ứng dụng của định lí cosin và định lí sin

Hai định lí này thường được sử dụng kết hợp với nhau để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Ví dụ, để giải một tam giác (tức là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác) khi biết một số thông tin nhất định, ta có thể sử dụng định lí cosin để tìm một góc, sau đó sử dụng định lí sin để tìm các cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và góc A = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Áp dụng định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos60^o

BC² = 25 + 64 - 80.0.5

BC² = 49

BC = 7