Lý thuyết Định lí Cosin và Định lí Sin

1. Định lí cosin

Trong tam giác ABC:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}\)

Hệ quả

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)

2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)

3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)

5) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (Công thức Heron)

Lý thuyết Định lí Cosin và Định lí Sin

Định lí Cosin và Định lí Sin là hai công cụ cơ bản và quan trọng trong việc giải tam giác bất kỳ. Chúng cho phép chúng ta tìm ra các cạnh và góc còn thiếu khi biết một số thông tin nhất định về tam giác.

1. Định lý Sin

Định lý Sin phát biểu rằng trong một tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện là một hằng số:

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Trong đó:

a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.
A, B, C là các góc đối diện với các cạnh a, b, c.
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ứng dụng của Định lý Sin:

Tìm góc khi biết ba cạnh.
Tìm cạnh khi biết hai góc và một cạnh.

2. Định lý Cosin

Định lý Cosin phát biểu rằng trong một tam giác ABC bất kỳ:

a² = b² + c² - 2bc * cosA
b² = a² + c² - 2ac * cosB
c² = a² + b² - 2ab * cosC

Ứng dụng của Định lý Cosin:

Tìm cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
Tìm góc khi biết ba cạnh.

3. Mối quan hệ giữa Định lý Sin và Định lý Cosin

Định lý Sin và Định lý Cosin là hai công cụ bổ sung cho nhau trong việc giải tam giác. Tùy thuộc vào thông tin đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai định lý hoặc kết hợp cả hai để tìm ra các yếu tố còn thiếu của tam giác.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, góc B = 60^o. Tính độ dài cạnh AC.

Giải:

Sử dụng Định lý Cosin:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cosB

AC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos60^o

AC² = 25 + 49 - 70 * 0.5 = 39

AC = √39 ≈ 6.24

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A = 45^o, góc B = 75^o, AC = 10. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Tính góc C: C = 180^o - A - B = 180^o - 45^o - 75^o = 60^o

Sử dụng Định lý Sin:

BC / sinA = AC / sinB

BC = AC * sinA / sinB = 10 * sin45^o / sin75^o ≈ 7.07

5. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức về Định lý Cosin và Định lý Sin, bạn có thể thực hành với các bài tập sau:

Cho tam giác ABC có AB = 8, BC = 10, AC = 6. Tính các góc của tam giác.
Cho tam giác ABC có góc A = 30^o, góc C = 45^o, AB = 12. Tính độ dài cạnh BC.
Một người đứng ở điểm A nhìn thấy một tòa nhà ở điểm B. Người đó đi dọc theo đường thẳng AB một đoạn 100m đến điểm C, sau đó nhìn thấy tòa nhà ở điểm B với góc nhìn là 60^o. Biết góc nhìn từ A là 30^o. Tính chiều cao của tòa nhà.

6. Kết luận

Định lý Cosin và Định lý Sin là những công cụ không thể thiếu trong việc giải tam giác. Việc nắm vững hai định lý này cùng với các ứng dụng của chúng sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.