THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập, nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp những tài liệu học tập chất lượng và đội ngũ giáo viên tận tâm.
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.
Đề bài
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC.
Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành).
Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \), tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (với G là trọng tâm của tam giác ABC).
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OF} } \right)\) (quy tắc ba điểm).
Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\).
Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = {60^\circ }\) (góc so le trong với các góc của tam giác đều).
Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều.
Do đó MD, ME, MF là các đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của các tam giác đều trên.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến, ta có:
\(\overrightarrow {ME} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\) (hoán vị)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC} {\rm{\;}}\) (quy tắc hình bình hành, dễ dàng chứng minh các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song).
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \left( {\overrightarrow {OA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)
\( = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 } \right)\) (tính chất trọng tâm)
Vậy \(\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, đặc biệt là phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.
Bài 10 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (-3; 4). Tính a + b.
Giải:a + b = (2 + (-3); -1 + 4) = (-1; 3)
Ví dụ 2: Cho vectơ u = (1; 2) và số thực k = -2. Tính ku.
Giải:ku = (-2 * 1; -2 * 2) = (-2; -4)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em có thể tham gia các diễn đàn, nhóm học tập trực tuyến để trao đổi kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau.
Trong quá trình học tập, các em nên:
Bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về vectơ và các phép toán vectơ. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
