THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 3 trang 54, 55, 56, 57 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, rõ ràng, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em có thể tự học tại nhà hoặc ôn tập kiến thức một cách tốt nhất.
Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết xOz=38 (hình 6) Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số y = x và y = 2x + 1
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (\({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0\)) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)\)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Tìm tọa độ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
Phương pháp giải:
+) Tọa độ của \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng.
+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
+) Từ phương trình \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) là \(\left( {{a_1};{b_1}} \right)\).
+) Từ phương trình \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} \) là \(\left( {{a_2};{b_2}} \right)\).
+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số \(y = x\) và \(y = 2x + 1\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho.
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến.
Bước 3: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát:
\(y = x \Leftrightarrow {d_1}:x - y = 0\), \(y = 2x + 1 \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)
Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1} \right)\).
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + ( - 1).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 18^\circ 26'\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng \(18^\circ 26'\).
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0\)
b) \({\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.\)
c) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho.
Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 3.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 45^\circ\).
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.2 + ( - 2).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 0^\circ \).
c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).
Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 2.1 + ( - 1).2 = 0\).
Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết \(\widehat {xOz} = 38^\circ \) (hình 6).
Tính số đo các góc \(\widehat {xOt},\widehat {tOy}\) và \(\widehat {yOz}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có hai góc \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {tOy}\) đối đỉnh nên \(\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ \).
Hai góc \(\widehat {xOt}\) và \(\widehat {yOz}\) đối đỉnh nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOz}\).
Hai góc \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {xOt}\) bù nhau nên \(\widehat {xOt} = 180^\circ - \widehat {xOz} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \).
Vậy \(\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ \) và \(\widehat {xOt} = \widehat {yOz} = 142^\circ \).
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (\({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0\)) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)\)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Tìm tọa độ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
Phương pháp giải:
+) Tọa độ của \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng.
+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
+) Từ phương trình \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) là \(\left( {{a_1};{b_1}} \right)\).
+) Từ phương trình \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} \) là \(\left( {{a_2};{b_2}} \right)\).
+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0\)
b) \({\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.\)
c) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho.
Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 3.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 45^\circ\).
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.2 + ( - 2).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 0^\circ \).
c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).
Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 2.1 + ( - 1).2 = 0\).
Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số \(y = x\) và \(y = 2x + 1\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho.
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến.
Bước 3: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát:
\(y = x \Leftrightarrow {d_1}:x - y = 0\), \(y = 2x + 1 \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)
Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1} \right)\).
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + ( - 1).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 18^\circ 26'\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng \(18^\circ 26'\).
Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết \(\widehat {xOz} = 38^\circ \) (hình 6).
Tính số đo các góc \(\widehat {xOt},\widehat {tOy}\) và \(\widehat {yOz}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có hai góc \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {tOy}\) đối đỉnh nên \(\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ \).
Hai góc \(\widehat {xOt}\) và \(\widehat {yOz}\) đối đỉnh nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOz}\).
Hai góc \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {xOt}\) bù nhau nên \(\widehat {xOt} = 180^\circ - \widehat {xOz} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \).
Vậy \(\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ \) và \(\widehat {xOt} = \widehat {yOz} = 142^\circ \).
Mục 3 của SGK Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng. Các bài tập từ trang 54 đến trang 57 xoay quanh việc hiểu và vận dụng các khái niệm cơ bản như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất liên quan.
Bài 1 (Trang 54): Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các vectơ trong hình vẽ, chỉ ra các vectơ cùng phương, ngược phương, và bằng nhau. Việc nắm vững định nghĩa và các tính chất của vectơ là chìa khóa để giải quyết bài tập này.
Bài 2 (Trang 55): Bài tập này tập trung vào phép cộng và phép trừ vectơ. Học sinh cần áp dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác để tìm vectơ tổng hoặc hiệu của hai vectơ. Lưu ý rằng thứ tự thực hiện phép cộng vectơ không ảnh hưởng đến kết quả.
Bài 3 (Trang 56): Bài tập này liên quan đến tích của một số với vectơ. Học sinh cần hiểu rằng tích của một số thực với vectơ là một vectơ có độ dài bằng tích của giá trị tuyệt đối của số thực đó với độ dài của vectơ ban đầu, và hướng của vectơ mới cùng hướng với vectơ ban đầu nếu số thực đó dương, ngược hướng nếu số thực đó âm.
Bài 4 (Trang 57): Bài tập này thường là một bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, và tích của một số với vectơ để giải quyết một vấn đề cụ thể. Việc phân tích bài toán và xây dựng phương án giải phù hợp là rất quan trọng.
Ví dụ: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa hai vectơ là 60 độ. Tính độ dài của vectơ a + b.
Giải:
Để nắm vững kiến thức về vectơ, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các khái niệm và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 10. Chúc các em học tốt!
