THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các phương pháp giải quyết các dạng phương trình thường gặp.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách đưa các phương trình phức tạp về dạng phương trình bậc hai quen thuộc, từ đó áp dụng các công thức và kỹ năng đã học để tìm ra nghiệm của phương trình.
1. Phương trình dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \)
A. Lý thuyết
1. Phương trình dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \)
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta thực hiện như sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\). Bước 2: Giải phương trình vừa nhận được ở B1. Bước 3: Thử lại các giá trị x tìm được ở B2 có thỏa mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm. |
2. Phương trình dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\)
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\), ta thực hiện như sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {(dx + e)^2}\). Bước 2: Giải phương trình vừa nhận được ở B1. Bước 3: Thử lại các giá trị x tìm được ở B2 có thỏa mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm. |
B. Bài tập
Bài 1: Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x - 2} = \sqrt {{x^2} - x - 2} \).
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(2{x^2} - 4 - 2 = {x^2} - x - 2\)
\( \Rightarrow {x^2} - 3x = 0\)
\( \Rightarrow \) x = 0 hoặc x = 3.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 3 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.
Bài 2: Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = x - 1\).
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\(2{x^2} - 5x - 9 = {(x - 1)^2}\)
\( \Rightarrow 2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1\)
\( \Rightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\)
\( \Rightarrow \) x = -2 hoặc x = 5.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 5 thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.
Trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo, phương trình quy về phương trình bậc hai là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và giải phương trình. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp.
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0, với a ≠ 0. Để giải phương trình này, chúng ta sử dụng công thức nghiệm:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Biệt thức Δ = b2 - 4ac quyết định số nghiệm của phương trình:
Đây là các phương trình không trực tiếp có dạng bậc hai, nhưng có thể được biến đổi về dạng bậc hai bằng một số phép biến đổi đại số.
Phương trình tích có dạng: A(x) . B(x) = 0. Phương trình này tương đương với hệ phương trình:
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Ví dụ: (x - 2)(x + 3) = 0 tương đương với x - 2 = 0 hoặc x + 3 = 0, suy ra x = 2 hoặc x = -3.
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Sau đó, quy đồng mẫu số và giải phương trình thu được. Cuối cùng, kiểm tra lại các nghiệm với ĐKXĐ.
Ví dụ: 1/(x - 1) + 2/(x + 1) = 3. ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ -1. Quy đồng mẫu số, ta được:
(x + 1) + 2(x - 1) = 3(x2 - 1)
⇔ x + 1 + 2x - 2 = 3x2 - 3
⇔ 3x2 - 3x - 0 = 0
⇔ 3x(x - 1) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 1. Vì x ≠ 1 nên nghiệm duy nhất của phương trình là x = 0.
Một số phương trình hai ẩn có thể được giải bằng cách đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai một ẩn.
Ví dụ: x2 + 2x + 1 = y2. Đặt t = x + 1, ta có t2 = y2, suy ra t = y hoặc t = -y. Từ đó, giải ra các giá trị của x và y.
Bài 1: Giải phương trình (x + 1)(x - 3) = 0
Giải: Phương trình tương đương với x + 1 = 0 hoặc x - 3 = 0. Suy ra x = -1 hoặc x = 3.
Bài 2: Giải phương trình 2/(x - 2) - 1/(x + 1) = 1
Giải: ĐKXĐ: x ≠ 2 và x ≠ -1. Quy đồng mẫu số, ta được:
2(x + 1) - (x - 2) = (x - 2)(x + 1)
⇔ 2x + 2 - x + 2 = x2 - x - 2
⇔ x2 - 2x - 6 = 0
Sử dụng công thức nghiệm, ta được x = (2 ± √(4 + 24)) / 2 = (2 ± √28) / 2 = 1 ± √7. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn ĐKXĐ.
Để nắm vững kiến thức về phương trình quy về phương trình bậc hai, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tốt!
