THCS
THCS
Lý thuyết Nhị thức Newton là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là với SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán về khai triển nhị thức, tính hệ số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục kiến thức này.
A. Lý thuyết 1. Một số công thức khai triển
A. Lý thuyết
1. Một số công thức khai triển
\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4}\) \( = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\). |
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\) \( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\). |
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5.
Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) với n = 0; 1; 2; 3;… được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số dưới đây. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũ tên trên bảng). Bảng số này được gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lý học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).
2. Công thức khai triển tổng quát
| \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\). |
Nhận xét:
- Số hạng tổng quát trong khai triển của \({(a + b)^n}\) đều có dạng \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) \((0 \le k \le n)\).
- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của \({(a - b)^n}\) như sau:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.
Ví dụ: \({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}\).
Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.
B. Bài tập
Bài 1: Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).
Giải:
Xác định số hạng: a = x, b = 1.
\({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
Bài 2: Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).
Giải:
Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.
Nếu coi a = x, b = -1:
\({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:
\[{(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\], khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).
Bài 3:
a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).
b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).
Giải:
a) Coi a = x, b = -2y.
\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).
Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.
b) Coi a = 3x, b = -y.
\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)
\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)
\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).
Bài 4:
a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).
b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).
Giải:
a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).
b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}\).
Bài 5: Cho tập hợp A = { a; b; c; d; e }. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Giải:
Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 ≤ k ≤ 5) là một tổ hợp chập k của A. Do đó, số tập con như vậy bằng \(C_5^k\). Mặt khác, có một tập con của A không có phần tử nào (tập rỗng), tức có \(C_5^0 = 1\) tập con như vậy. Do đó, số tập con của A bằng \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\). Theo công thức nhị thức Newton, ta có \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {(1 + 1)^5} = {2^5}\).
Vậy A có \({2^5} = 32\) tập con.
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong đại số, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo, lý thuyết này được trình bày một cách hệ thống và dễ tiếp cận.
Định lý Nhị thức Newton phát biểu rằng:
(a + b)^n = Cn0anb0 + Cn1an-1b1 + Cn2an-2b2 + ... + Cnna0bn
Trong đó:
Hệ số nhị thức Cnk đóng vai trò quan trọng trong khai triển Nhị thức Newton. Chúng có thể được tính trực tiếp bằng công thức hoặc sử dụng Tam giác Pascal để tra cứu.
Tam giác Pascal là một mảng số được xây dựng theo quy tắc:
Ví dụ:
| Hàng | Số |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
Các số trong Tam giác Pascal chính là các hệ số nhị thức Cnk.
Lý thuyết Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo cung cấp nhiều bài tập vận dụng lý thuyết Nhị thức Newton. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Để nắm vững Lý thuyết Nhị thức Newton, bạn nên:
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ quan trọng trong toán học, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng lý thuyết vào thực tế để hiểu sâu hơn về sức mạnh của nó.
