Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trong chương V, Vecto của sách Toán 10 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ: tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng không chỉ là một công cụ tính toán mà còn là cầu nối giữa đại số và hình học, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vectơ a và b khác 0. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa bởi:

a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cos(θ)

Trong đó, θ là góc giữa hai vectơ a và b (0 ≤ θ ≤ 180°).

2. Tính chất của tích vô hướng

• a ⋅ b = b ⋅ a (Tính giao hoán)
• a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (Tính phân phối đối với phép cộng)
• (ka) ⋅ b = k(a ⋅ b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• Nếu a ⊥ b (vuông góc) thì a ⋅ b = 0

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxy, cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| ⋅ |b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0
• Tính độ dài của vectơ: |a| = √(a ⋅ a)

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a ⋅ b.

Giải: a ⋅ b = 2 * 1 + (-1) * 3 = 2 - 3 = -1

Ví dụ 2: Cho a = (1; 2) và b = (-4; 2). Chứng minh rằng a ⊥ b.

Giải: a ⋅ b = 1 * (-4) + 2 * 2 = -4 + 4 = 0. Vậy a ⊥ b.

Hi vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về tích vô hướng của hai vectơ. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!