1. Môn Toán
  2. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - Nền tảng Toán 10 CTST

Tích vô hướng của hai vecto là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10 Chương trình Công nghệ. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số một cách hiệu quả.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết Tích vô hướng, cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

1. GÓC GIỮA HAI VECTO

Cho hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) , kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

a) Cách xác định góc:

Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}\).

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST 1

b) Các trường hợp đặc biệt:

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0 \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \;\;\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)

Hệ quả

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST 2

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST trong chuyên mục giải toán 10 trên nền tảng học toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 10 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các cấp học cao hơn.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 CTST

Tích vô hướng của hai vecto là một phép toán cơ bản trong hình học vectơ, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong vật lý. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto theo chương trình SGK Toán 10 CTST.

1. Định nghĩa Tích vô hướng của hai vecto

Cho hai vectơ ab. Tích vô hướng của ab, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

  • |a||b| lần lượt là độ dài của vectơ ab.
  • θ là góc giữa hai vectơ ab (0 ≤ θ ≤ 180°).

2. Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ a = (x1; y1)b = (x2; y2). Tích vô hướng của ab được tính bằng công thức:

a.b = x1x2 + y1y2

3. Tính chất của Tích vô hướng

  • a.b = b.a (Tính giao hoán)
  • a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
  • k(a.b) = (ka).b = a.(kb) (Tính chất liên quan đến tích với một số thực)
  • a.a = |a|2

4. Ứng dụng của Tích vô hướng

  • Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
  • Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ ab vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.
  • Tính độ dài của vectơ:|a| = √(a.a)
  • Ứng dụng trong hình học: Tính diện tích tam giác, chứng minh các tính chất hình học.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (2; -3)b = (-1; 4). Tính a.b.

Giải:a.b = (2)(-1) + (-3)(4) = -2 - 12 = -14

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tính góc BAC.

Giải:

  1. Tính vectơ AB = (3-1; 4-2) = (2; 2)AC = (5-1; 1-2) = (4; -1).
  2. Tính tích vô hướng AB.AC = (2)(4) + (2)(-1) = 8 - 2 = 6.
  3. Tính độ dài |AB| = √(22 + 22) = √8 = 2√2|AC| = √(42 + (-1)2) = √17.
  4. Tính cosin góc BAC: cos(BAC) = (AB.AC) / (|AB||AC|) = 6 / (2√2 * √17) = 3 / (√34).
  5. Suy ra góc BAC ≈ 69.44°.

6. Kết luận

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học và đại số. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 CTST.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 10

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 10