Tích vô hướng của hai vecto là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10 Chương trình Công nghệ. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số một cách hiệu quả.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết Tích vô hướng, cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) , kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
a) Cách xác định góc:
Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}\).
b) Các trường hợp đặc biệt:
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0 \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \;\;\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)
3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)
Hệ quả
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)
Tích vô hướng của hai vecto là một phép toán cơ bản trong hình học vectơ, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong vật lý. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto theo chương trình SGK Toán 10 CTST.
Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:
a.b = |a||b|cos(θ)
Trong đó:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:
a.b = x1x2 + y1y2
Ví dụ 1: Cho a = (2; -3) và b = (-1; 4). Tính a.b.
Giải:a.b = (2)(-1) + (-3)(4) = -2 - 12 = -14
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tính góc BAC.
Giải:
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học và đại số. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 CTST.