Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2 trong chương VIII của sách Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong Đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán đếm, một phần không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp (Combination)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm trực nhật?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₅² = 5! / (5 - 2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₅³ = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

• Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự của các phần tử.
• Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự của các phần tử.
• Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự của các phần tử.

5. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập áp dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:

1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
2. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh từ một lớp 10 học sinh để tham gia đội văn nghệ?
3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách sao cho hai cuốn sách cụ thể luôn đứng cạnh nhau?

6. Kết luận

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đếm một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và áp dụng vào thực tế.