Giải bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Giải bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 12 trang 103 sách giáo khoa Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải bài tập này nhé!
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải.
Đề bài
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
b) Chỉ ra kết quả độ dài vectơ \(\overrightarrow v \) đã tính được ở câu a)
c) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \(\sin B = \frac{a}{c}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 0,75;\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 1,20\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) và \(\overrightarrow {{v_1}} \bot \overrightarrow {{v_2}} \)
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông ta có: \({\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {0,{{75}^2} + 1,{2^2}} = \frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là \(\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\) m/s
c) Nước có hướng dichuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền
so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với nước
Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền và bờ là \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right)\)
Ta có: \(\sin \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{0,75}}{{\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}}} = \frac{{5\sqrt {89} }}{{89}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) \simeq 32^\circ \)
Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc \(32^\circ \) so với bờ
Giải bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Nội dung bài tập 12
Bài tập 12 bao gồm các câu hỏi và bài tập nhỏ, yêu cầu học sinh:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ cho trước.
- Xác định góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng.
- Sử dụng tích vô hướng để chứng minh các đẳng thức vectơ.
- Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến tích vô hướng trong hình học.
Phương pháp giải bài tập 12
Để giải bài tập 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
- Tính chất của tích vô hướng: a.b = b.a; (ka).b = k(a.b); a.(b+c) = a.b + a.c
- Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, tính độ dài vectơ.
Lời giải chi tiết bài tập 12.1
Đề bài: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải:
Tích vô hướng của a và b được tính như sau:
a.b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1
Vậy, a.b = -1.
Lời giải chi tiết bài tập 12.2
Đề bài: Cho hai vectơ u = (3; 4) và v = (-1; 2). Tính góc giữa hai vectơ u và v.
Lời giải:
Ta có: u.v = (3)(-1) + (4)(2) = -3 + 8 = 5
|u| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
|v| = √((-1)2 + 22) = √(1 + 4) = √5
cos(θ) = (u.v) / (|u||v|) = 5 / (5√5) = 1/√5 = √5/5
θ = arccos(√5/5) ≈ 63.43°
Vậy, góc giữa hai vectơ u và v là khoảng 63.43°.
Lời giải chi tiết bài tập 12.3
Đề bài: Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.
Lời giải:
Nếu a vuông góc với b thì góc giữa a và b là 90°. Do đó, cos(90°) = 0.
Theo định nghĩa tích vô hướng, a.b = |a||b|cos(θ) = |a||b|cos(90°) = |a||b| * 0 = 0.
Vậy, nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.
Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng của nó, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:
- Bài tập 12.4, 12.5, 12.6 trang 103, 104 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo.
- Các bài tập tương tự trong các sách bài tập Toán 10.
- Tìm kiếm các bài tập trực tuyến về tích vô hướng trên các trang web học toán.
Kết luận
Bài tập 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
