THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 12 trang 103 sách giáo khoa Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải bài tập này nhé!
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải.
Đề bài
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
b) Chỉ ra kết quả độ dài vectơ \(\overrightarrow v \) đã tính được ở câu a)
c) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \(\sin B = \frac{a}{c}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 0,75;\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 1,20\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) và \(\overrightarrow {{v_1}} \bot \overrightarrow {{v_2}} \)
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông ta có: \({\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {0,{{75}^2} + 1,{2^2}} = \frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là \(\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\) m/s
c) Nước có hướng dichuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền
so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với nước
Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền và bờ là \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right)\)
Ta có: \(\sin \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{0,75}}{{\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}}} = \frac{{5\sqrt {89} }}{{89}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) \simeq 32^\circ \)
Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc \(32^\circ \) so với bờ
Bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Bài tập 12 bao gồm các câu hỏi và bài tập nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Đề bài: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải:
Tích vô hướng của a và b được tính như sau:
a.b = (2)(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1
Vậy, a.b = -1.
Đề bài: Cho hai vectơ u = (3; 4) và v = (-1; 2). Tính góc giữa hai vectơ u và v.
Lời giải:
Ta có: u.v = (3)(-1) + (4)(2) = -3 + 8 = 5
|u| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
|v| = √((-1)2 + 22) = √(1 + 4) = √5
cos(θ) = (u.v) / (|u||v|) = 5 / (5√5) = 1/√5 = √5/5
θ = arccos(√5/5) ≈ 63.43°
Vậy, góc giữa hai vectơ u và v là khoảng 63.43°.
Đề bài: Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.
Lời giải:
Nếu a vuông góc với b thì góc giữa a và b là 90°. Do đó, cos(90°) = 0.
Theo định nghĩa tích vô hướng, a.b = |a||b|cos(θ) = |a||b|cos(90°) = |a||b| * 0 = 0.
Vậy, nếu a vuông góc với b thì a.b = 0.
Để củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng của nó, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:
Bài tập 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
