Bài 3. Tích của một số với một vectơ

Trong chương trình Toán 10 tập 1, sách Chân trời sáng tạo, Bài 3 tập trung vào một phép toán quan trọng trong vectơ: tích của một số với một vectơ. Phép toán này đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng các khái niệm và giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ.

1. Định nghĩa tích của một số với một vectơ

Cho vectơ a và một số thực k. Tích của số k với vectơ a, ký hiệu là k.a, là một vectơ được xác định như sau:

Nếu k = 0 thì k.a = 0 (vectơ không).
Nếu k > 0 thì k.a cùng hướng với a và có độ dài gấp k lần độ dài của a.
Nếu k < 0 thì k.a ngược hướng với a và có độ dài gấp |k| lần độ dài của a.

Nói cách khác, k.a = k(x_a, y_a) = (kx_a, ky_a) trong hệ tọa độ.

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số thực

Phép nhân vectơ với một số thực tuân theo các tính chất sau:

(m + n).a = m.a + n.a
m.(a + b) = m.a + m.b
m.(n.a) = (m.n).a
1.a = a
0.a = 0

Các tính chất này giúp đơn giản hóa các phép toán và chứng minh các bài toán liên quan đến vectơ.

3. Ứng dụng của tích của một số với một vectơ

Phép tích của một số với một vectơ có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Thay đổi độ dài của vectơ: Khi nhân một vectơ với một số thực, ta có thể thay đổi độ dài của vectơ đó mà vẫn giữ nguyên (hoặc đảo ngược) hướng của nó.
Biểu diễn các điểm trên đường thẳng: Sử dụng tích của một số với một vectơ để biểu diễn các điểm nằm trên một đường thẳng.
Giải các bài toán hình học: Phép toán này được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng, và các hình hình học khác.
Vật lý: Trong vật lý, tích của một số với một vectơ được sử dụng để biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc, và các đại lượng vectơ khác.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho vectơ a = (2, 3). Tính 3.a và -2.a.

Giải:

3.a = 3(2, 3) = (6, 9)

-2.a = -2(2, 3) = (-4, -6)

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ của điểm M sao cho AM = 2AB.

Giải:

Ta có AB = (3-1, 4-2) = (2, 2).

AM = 2AB = 2(2, 2) = (4, 4).

Gọi M(x, y). Khi đó AM = (x-1, y-2) = (4, 4).

Suy ra x = 5 và y = 6. Vậy M(5, 6).

5. Kết luận

Bài 3. Tích của một số với một vectơ là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép toán này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán vectơ một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.