Giải bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 \({m^2}\). Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo 1

Bước 1: Biểu diễn chiểu dài qua chiều rộng (chu vi = 2.(dài + rộng))

Bước 2: Lập công thức tính diện tích (dài*rộng)

Bước 3: Lập bất phương trình và giải

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của vườn hoa (\(x > 0\), tính bằng đơn vị mét)

Theo giả thiết ta có chiều dài là \(15 - x\)

Diện tích của vườn hoa có phương trình như sau \(f\left( x \right) = x\left( {15 - x} \right) = - {x^2} + 15x\)

Ta có bất phương trình thỏa mãn bài toán như sau:\( - {x^2} + 15x \ge 50 \Leftrightarrow - {x^2} + 15x - 50 \ge 0\)

Xét tam thức \(g\left( x \right) = - {x^2} + 15x - 50\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 5;{x_2} = 10\) và \(a = - 1 < 0\) nên \(g\left( x \right) > 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ {5;10} \right]\)

Vậy khi chiều rộng nằm trong đoạn \(\left[ {5;10} \right]\) mét thì diện tích vườn hoa ít nhất là 50 \({m^2}\).

Giải bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương Hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, tập xác định, tập giá trị, và các tính chất của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.

Nội dung bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Bài 3 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tìm tập giá trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Câu a)

Hàm số: y = 2x² - 5x + 3

Tập xác định: D = ℝ (tập hợp tất cả các số thực)

Hàm số là hàm bậc hai có hệ số a = 2 > 0, nên hàm số có tập giá trị là [ -Δ/4a ; +∞ ).

Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1

-Δ/4a = -1 / (4 * 2) = -1/8

Vậy tập giá trị của hàm số là [-1/8 ; +∞)

Trục đối xứng của parabol là x = -b/2a = -(-5) / (2 * 2) = 5/4

Đỉnh của parabol là I(5/4 ; -1/8)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 5/4) và đồng biến trên khoảng (5/4 ; +∞)

Câu b)

Hàm số: y = -x² + 4x - 1

Tập xác định: D = ℝ

Hàm số là hàm bậc hai có hệ số a = -1 < 0, nên hàm số có tập giá trị là (-∞ ; Δ/4a ].

Δ = b² - 4ac = 4² - 4 * (-1) * (-1) = 16 - 4 = 12

Δ/4a = 12 / (4 * -1) = -3

Vậy tập giá trị của hàm số là (-∞ ; -3]

Trục đối xứng của parabol là x = -b/2a = -4 / (2 * -1) = 2

Đỉnh của parabol là I(2 ; -3)

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2 ; +∞)

Phương pháp giải bài tập hàm số bậc hai

Để giải các bài tập về hàm số bậc hai, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Công thức tính đỉnh của parabol: I(-b/2a ; -Δ/4a)
Điều kiện để hàm số có tập giá trị:

Nếu a > 0: Tập giá trị là [-Δ/4a ; +∞)
Nếu a < 0: Tập giá trị là (-∞ ; Δ/4a]

Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của hệ số a.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về hàm số bậc hai, học sinh cần chú ý:

Kiểm tra kỹ hệ số a, b, c.
Tính chính xác Δ.
Xác định đúng tập xác định và tập giá trị.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 10 tập 2.

Kết luận

Bài 3 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập về chủ đề này.