THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 1 trang 59, 60, 61 sách giáo khoa Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, rõ ràng, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em có thể tự học và hiểu sâu sắc nội dung bài học.
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ. Các bài tập trang 59, 60, 61 SGK Toán 10 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng các khái niệm về vectơ, phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài 1 tập trung vào việc nhắc lại các định nghĩa cơ bản về vectơ, bao gồm:
Các bài tập trong bài 1 yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của vectơ, so sánh các vectơ, và thực hiện các phép toán đơn giản với vectơ.
Bài 2 giới thiệu về phép cộng và phép trừ vectơ, bao gồm:
Các bài tập trong bài 2 yêu cầu học sinh thực hiện phép cộng và phép trừ vectơ, chứng minh các tính chất của phép toán vectơ.
Bài 3 giới thiệu về tích của một số với một vectơ, bao gồm:
Các bài tập trong bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện tích của một số với một vectơ, chứng minh các tính chất của phép toán vectơ.
Bài 4 giới thiệu về ứng dụng của vectơ trong hình học, bao gồm:
Các bài tập trong bài 4 yêu cầu học sinh sử dụng vectơ để giải quyết các bài toán hình học cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1 trang 59, 60, 61 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Các lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các hình vẽ minh họa để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Ngoài SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và rèn luyện kỹ năng giải toán:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán về vectơ trong chương trình Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
