Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0. Việc hiểu rõ định nghĩa này là bước đầu tiên để nắm bắt các khái niệm liên quan đến tam thức bậc hai.

2. Nghiệm của tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Phương pháp giải phương trình bậc hai thường được sử dụng là công thức nghiệm tổng quát:

x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Biệt thức Δ = b² - 4ac đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số lượng nghiệm của phương trình:

Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

3. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ. Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: a > 0

Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) dương khi x < x₁ hoặc x > x₂ và âm khi x₁ < x < x₂.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương với mọi x ≠ x₁.
Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) dương với mọi x.

Trường hợp 2: a < 0

Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) âm khi x < x₁ hoặc x > x₂ và dương khi x₁ < x < x₂.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm với mọi x ≠ x₁.
Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) âm với mọi x.

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Tính biệt thức Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy phương trình 2x² - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2

x₂ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2

Vì a = 2 > 0, tam thức f(x) dương khi x < 1/2 hoặc x > 2 và âm khi 1/2 < x < 2.

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có ứng dụng quan trọng trong việc giải các bất phương trình bậc hai. Ví dụ, để giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0, ta dựa vào kết quả xét dấu ở ví dụ trên và kết luận nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Xét dấu tam thức f(x) = -x² + 4x - 3.
Bài 2: Giải bất phương trình x² - 3x + 2 < 0.
Bài 3: Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) = x² - 2mx + m + 2 luôn dương.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.