Bài 2. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10. Việc nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. 'a' được gọi là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất, và 'c' là hệ số tự do.

2. Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các số thực (R) vì với mọi giá trị của x, ta luôn có thể tính được giá trị tương ứng của y. Tuy nhiên, tập giá trị của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số 'a'.

Nếu a > 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol và tập giá trị là [ymin; +∞).
Nếu a < 0: Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol và tập giá trị là (-∞; ymax].

3. Đồ thị hàm số bậc hai - Parabol

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong được gọi là parabol. Parabol có những đặc điểm sau:

Đỉnh parabol (I): Tọa độ đỉnh parabol được tính bởi công thức: I(-b/2a; Δ/4a), với Δ = b² - 4ac.
Trục đối xứng: Là đường thẳng vuông góc với trục hoành và đi qua đỉnh parabol, có phương trình: x = -b/2a.
Tiêu điểm (F): Có tọa độ F(-b²/4a; 1/4a)
Đường chuẩn (d): Có phương trình y = -1/4a

4. Các yếu tố ảnh hưởng đến hình dạng parabol

Hệ số 'a' đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng của parabol:

Nếu a > 0: Parabol có bề lõm hướng lên trên.
Nếu a < 0: Parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
Giá trị tuyệt đối của 'a' càng lớn, parabol càng hẹp.
Giá trị tuyệt đối của 'a' càng nhỏ, parabol càng rộng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số y = 2x² - 5x + 3.

Giải: a = 2, b = -5, c = 3.

Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x² - 4x + 1.

Giải: x_I = -(-4)/(2*1) = 2. y_I = 2² - 4*2 + 1 = -3. Vậy đỉnh parabol là I(2; -3).

6. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính quỹ đạo của vật ném.
Thiết kế các công trình kiến trúc có hình parabol (cầu, ăng-ten...).
Mô tả sự tăng trưởng hoặc suy giảm của một đại lượng theo thời gian.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tốt!