Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là khi các em bước vào học giải tích ở các lớp trên. Bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về ý nghĩa của giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm và cách sử dụng giới hạn để giải quyết các bài toán liên quan đến sự liên tục của hàm số.

I. Khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà hàm số f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta cần phân biệt giới hạn một bên (giới hạn trái và giới hạn phải). Giới hạn trái là giá trị mà hàm số tiến tới khi x tiến tới a từ bên trái (x < a), còn giới hạn phải là giá trị mà hàm số tiến tới khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

II. Các phương pháp tính giới hạn của hàm số

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị x = a vào hàm số f(x) nếu hàm số xác định tại a.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các phép biến đổi đại số để phân tích thành nhân tử, rút gọn biểu thức và loại bỏ các yếu tố gây ra vô định thức.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp để khử mẫu và tính giới hạn.
Phương pháp sử dụng giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim_x→0 sinx/x = 1, lim_x→0 (1 - cosx)/x = 0.

III. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có thể phân tích thành nhân tử: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→0 sin(3x) / x

Giải: Ta có thể sử dụng giới hạn đặc biệt: lim_x→0 sin(3x) / x = 3 * lim_x→0 sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3.

IV. Ứng dụng của giới hạn trong việc xét tính liên tục của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x = a.
Hàm số có giới hạn tại x = a.
Giới hạn của hàm số tại x = a bằng giá trị của hàm số tại x = a, tức là lim_x→a f(x) = f(a).

V. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo cung cấp một loạt các bài tập với mức độ khó tăng dần, giúp các em rèn luyện kỹ năng và áp dụng kiến thức vào thực tế. Hãy chú trọng vào việc hiểu bản chất của các phương pháp tính giới hạn và lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng bài toán cụ thể.

VI. Kết luận

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học các môn học khác liên quan đến giải tích. montoan.com.vn hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và bài tập minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan.