montoan.com.vn - Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu

Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong Chuyên đề 2 của chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn. Đây là một phần quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa lý thuyết và thực tế, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết các bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Hiểu rõ cách tính đạo hàm của các hàm số cơ bản và các hàm số phức tạp.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị: Nắm vững các điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu.
Quy tắc xét dấu đạo hàm: Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài toán tối ưu: Xác định đúng hàm số cần tối ưu và khoảng xác định của hàm số.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài toán tối ưu thường gặp trong chương trình Toán 12 Cánh Diều bao gồm:

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Bài toán tối ưu hình học: Các bài toán liên quan đến việc tìm kích thước của hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật, hình trụ, hình nón,... để diện tích, thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Bài toán tối ưu kinh tế: Các bài toán liên quan đến việc tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, sản lượng,... trong các bài toán kinh tế.
Bài toán tối ưu hóa trong các lĩnh vực khác: Các bài toán tối ưu hóa trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học,...

III. Phương pháp giải bài toán tối ưu

Để giải quyết các bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số cần tối ưu và khoảng xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.
Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng xác định.
Bước 5: So sánh các giá trị tìm được để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 1 trên khoảng [-1; 3].

Giải:

f'(x) = -2x + 4
f'(x) = 0 ⇔ x = 2
f(-1) = -2
f(2) = 5
f(3) = 4

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng [-1; 3] là 5, đạt được tại x = 2.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán tối ưu, các em có thể thực hiện các bài tập sau:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 6x + 5 trên khoảng [0; 5].
Bài 2: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chuồng trại đó cần có kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cosx trên khoảng [0; π].

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn. Chúc các em học tập tốt!