THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Đề bài
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Từ thể tích của hộp đựng nước giải khát ta sẽ biểu diễn được chiều cao của hộp nước theo bán kính đáy của nó \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\)
+) Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hộp nước hình trụ.
+) Ta sẽ biểu diễn được diện tích vỏ hộp bằng một hàm số \(S(r)\)ẩn r
+) Yêu cầu bài toán đồng nghĩa với việc ta phải đi tìm bán kính, chiều cao mà ở đó hàm số \(S(r)\)đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Chiều cao \(h\) của hộp đứng nước có dạng hình trụ là \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\) (cm).
Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là \({S_{\rm{d}}} = \pi {r^2}\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)).
Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{1000}}{r}{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\)
Diện tích vỏ hộp là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\).
Xét hàm số \(S(r) = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r},r \in (0; + \infty ).\)
Ta có \(S'(r) = 4\pi r - \frac{{1000}}{{{r^2}}}.\) Do đó \(S'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(S(r)\) như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} S(r) \approx 348,73\) tại \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm).
Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm) và chiều cao của chiếc hộp là \(h = \frac{{500}}{{\pi {{\left( {\frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{{5{{\left( {\sqrt[3]{{4\pi }}} \right)}^2}}}{\pi }\) (cm).
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm hợp và ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến cực trị, đơn điệu của hàm số.
Bài 8 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều:
Lời giải:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)
Lời giải:
y' = -sin(x^2) * (x^2)' = -2xsin(x^2)
Lời giải:
y' = (1/cos^2(3x - 2)) * (3x - 2)' = 3/cos^2(3x - 2)
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm, học sinh cần:
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2
Lời giải:
y' = 3x^2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu đạo hàm:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2
Khi giải bài tập đạo hàm, học sinh cần chú ý:
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
