Giải bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều
Giải bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Đề bài
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Từ thể tích của hộp đựng nước giải khát ta sẽ biểu diễn được chiều cao của hộp nước theo bán kính đáy của nó \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\)
+) Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hộp nước hình trụ.
+) Ta sẽ biểu diễn được diện tích vỏ hộp bằng một hàm số \(S(r)\)ẩn r
+) Yêu cầu bài toán đồng nghĩa với việc ta phải đi tìm bán kính, chiều cao mà ở đó hàm số \(S(r)\)đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Chiều cao \(h\) của hộp đứng nước có dạng hình trụ là \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\) (cm).
Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là \({S_{\rm{d}}} = \pi {r^2}\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)).
Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{1000}}{r}{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\)
Diện tích vỏ hộp là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\).
Xét hàm số \(S(r) = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r},r \in (0; + \infty ).\)
Ta có \(S'(r) = 4\pi r - \frac{{1000}}{{{r^2}}}.\) Do đó \(S'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(S(r)\) như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} S(r) \approx 348,73\) tại \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm).
Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm) và chiều cao của chiếc hộp là \(h = \frac{{500}}{{\pi {{\left( {\frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{{5{{\left( {\sqrt[3]{{4\pi }}} \right)}^2}}}{\pi }\) (cm).
Giải bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm hợp và ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến cực trị, đơn điệu của hàm số.
Nội dung chi tiết bài 8 trang 37
Bài 8 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác. Học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và áp dụng các quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp. Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải thành thạo quy tắc đạo hàm của hàm hợp và kết hợp với các công thức đạo hàm cơ bản.
- Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số. Học sinh cần tìm đạo hàm bậc nhất, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị, sau đó xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết bài 8 trang 37
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều:
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1)
Lời giải:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(x^2)
Lời giải:
y' = -sin(x^2) * (x^2)' = -2xsin(x^2)
Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số y = tan(3x - 2)
Lời giải:
y' = (1/cos^2(3x - 2)) * (3x - 2)' = 3/cos^2(3x - 2)
Phương pháp giải bài tập đạo hàm
Để giải tốt các bài tập về đạo hàm, học sinh cần:
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
- Thành thạo quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.
Ví dụ minh họa ứng dụng đạo hàm
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2
Lời giải:
y' = 3x^2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu đạo hàm:
- Với x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Với 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Với x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2
Lưu ý khi giải bài tập đạo hàm
Khi giải bài tập đạo hàm, học sinh cần chú ý:
- Sử dụng đúng công thức đạo hàm.
- Áp dụng đúng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Kiểm tra lại kết quả để tránh sai sót.
Tổng kết
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
