THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số (K(x) = 0,02{x^3} - 3{x^2} + 172x + 2400.) trong đó (x) là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày có thể sản xuất tối đa 130 xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đề được bán hết vào cuối ngày đó. Gọi (G(x)) là hàm biểu diễn lợi nhuận hằng ngày của nhà máy. a) Vẽ đồ thị hàm số (G(x)) trên đoạn (left[ {0;130} right].) b
Đề bài
Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số
\(K(x) = 0,02{x^3} - 3{x^2} + 172x + 2400.\)
trong đó \(x\) là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày có thể sản xuất tối đa 130 xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đề được bán hết vào cuối ngày đó.
Gọi \(G(x)\) là hàm biểu diễn lợi nhuận hằng ngày của nhà máy.
a) Vẽ đồ thị hàm số \(G(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;130} \right].\)
b) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu để nhà máy có lãi?
c) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?
d) Giả sử nhà máy quyết định tận dụng tối đa công suất sản xuất 130 xe đạp mỗi ngày. Nhà máy phải chọn đơn giá là bao nhiêu để có lãi?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Biểu diễn doanh thu một ngày của nhà máy \(P(x) = 120x\) (€), \(x \in {\rm{[0;130]}}\).
+) Lợi nhuận hằng ngày của nhà máy chính bằng hiệu của doanh thu và chi phí sản xuất trong một ngày tức \(G(x) = P(x) - K(x)\)
+) Để vẽ đồ thị hàm số \(G(x)\) ta cần xét tính đơn điệu của hàm số này, xác định các điểm của đồ thị hàm số cắt trục tung và trục hoành
+) Để sản xuất có lãi tức là lợi nhuận thu được phải dương hay \(G(x) > 0\)
+) Để lợi nhuận lớn nhất tức \(G(x)\)đạt giá trị lớn nhất. Ta cần tìm \(x\) để \(G(x)\)đạt giá trị lớn nhất (dựa vào bảng biến thiên) cần lưu ý \(x\) là số tự nhiên.
+) Gọi y là đơn giá mới, ta cần biểu diễn doanh thu theo y. Từ đó ta được một hàm doanh thu mới, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.
Lời giải chi tiết
a) Doanh thu một ngày của nhà máy sản xuất là \(P(x) = 120x\) (€), \(x \in {\rm{[0;130]}}\).
Lợi nhuận một ngày của nhà máy là
\(G(x) = P(x) - K(x) = 120x - (0,02{x^3} - 3{x^2} + 172x + 2400)\)
\(G(x) = - 0,02{x^3} + 3{x^2} - 52x - 2400\) (€),
Vẽ đồ thị hàm số \(G(x)\) trên đoạn \({\rm{[}}0;130]\):
\(G'(x) = 0 \Leftrightarrow x \approx 9,6\) hoặc \(x \approx 90,4.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên \({\rm{[}}0;9,6)\) và \((90,4;130]\); đồng biến trên khoảng \((9,6;90,4)\).
a) Để nhà máy có lãi thì \(G(x) > 0\).
Từ đồ thị hàm số ở câu a, ta có \(G(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (50;120)\).
Mà số lượng xe là số tự nhiên nên \(x \in N\) do đó \(x \in {\rm{[}}51;119]\)
Vậy mỗi ngày phải sản xuất từ 51 dến 119 chiếc xe để có lãi.
b) Từ bảng biến thiên của hàm số \(G(x)\) ở câu a, ta có \(G(x)\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x \approx 90,4\). Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x = 90\) hoặc \(x = 91\) thì lợi nhuận sẽ thu được lớn nhất.
Ta có \(G(90) = 2640\) và \(G(91) = 2639,58\) nên \(G(90) > G(91)\).
Vậy để nhà máy có lợi nhất thì mỗi ngày xần sản xuất 90 chiếc xe máy.
c) Chi phí mỗi ngày của nhà máy khi sản xuất 130 chiếc xe là:
\(K(130) = {0,02.130^3} - {3.130^2} + 172.130 + 2400 = 18000\) (€).
Gọi \(y\)(€) là đơn giá nhà máy bán ra thị trường, khi đó doanh thu nhà máy thu được là \(P(y) = 130y\) (€).
Lợi nhuận nhà máy thu được là \(G(y) = P(y) - K(130) = 130y - 18000\) (€).
Để nhà máy có lãi thì \(G(y) > 0 \Leftrightarrow 130y - 18000 > 0 \Leftrightarrow y > \frac{{1800}}{{13}} \approx 138,46\).
Vậy để nhà máy có lãi thì cần chọn đơn giá lớn hơn 138,46 euro.
Bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các chủ đề quan trọng như đạo hàm, tích phân, số phức và hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để các em học sinh có thể giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để tính đạo hàm của hàm số, các em cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số y = x2 + 2x + 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và quy tắc đạo hàm của lũy thừa để có y' = 2x + 2.
Để tìm cực trị của hàm số, các em cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, các em cần xét dấu của đạo hàm để xác định xem các điểm đó là điểm cực đại hay điểm cực tiểu. Ví dụ, để tìm cực trị của hàm số y = x3 - 3x + 2, ta tính đạo hàm y' = 3x2 - 3. Giải phương trình y' = 0, ta được x = 1 hoặc x = -1. Xét dấu của y', ta thấy rằng x = -1 là điểm cực đại và x = 1 là điểm cực tiểu.
Các phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số. Ví dụ, để giải phương trình f'(x) = 0, ta cần tìm các điểm mà hàm số có đạo hàm bằng 0. Các điểm này có thể là điểm cực trị hoặc điểm uốn của hàm số.
Để tính tích phân, các em cần nắm vững các quy tắc tích phân cơ bản như quy tắc tích phân của tổng, hiệu, quy tắc tích phân từng phần và quy tắc đổi biến. Ví dụ, để tính tích phân ∫x2 dx, ta sử dụng quy tắc tích phân của lũy thừa để có ∫x2 dx = (x3)/3 + C.
Đạo hàm được sử dụng để khảo sát hàm số, bao gồm việc xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, điểm uốn và tiệm cận của hàm số. Việc khảo sát hàm số giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và có thể vẽ được đồ thị của hàm số một cách chính xác.
Bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
