Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 2 trong sách bài tập Toán 9 Cánh diều tập trung vào việc xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình hình học lớp 9, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn, từ đó áp dụng vào giải các bài toán phức tạp hơn.

1. Các trường hợp vị trí tương đối

Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn:

Trường hợp 1: Đường thẳng không cắt đường tròn. Khi đó, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính của đường tròn (d > r).
Trường hợp 2: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Khi đó, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn (d = r).
Trường hợp 3: Đường thẳng cắt đường tròn. Khi đó, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn (d < r).

2. Cách xác định vị trí tương đối

Để xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn (I) và bán kính (r).
Bước 2: Tính khoảng cách (d) từ tâm I đến đường thẳng Δ. Công thức tính khoảng cách từ điểm I(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 là: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
Bước 3: So sánh d với r để xác định vị trí tương đối:

d > r: Đường thẳng không cắt đường tròn.
d = r: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
d < r: Đường thẳng cắt đường tròn.

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5cm) và đường thẳng Δ cách O một khoảng 3cm. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ và đường tròn (O).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ là d = 3cm. Bán kính của đường tròn là r = 5cm. Vì d < r (3cm < 5cm) nên đường thẳng Δ cắt đường tròn (O).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 4cm) và đường thẳng Δ có phương trình 3x + 4y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ và đường tròn (O), biết O(0; 0).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y - 10 = 0 là:

d = |3(0) + 4(0) - 10| / √(3² + 4²) = 10 / 5 = 2cm

Bán kính của đường tròn là r = 4cm. Vì d < r (2cm < 4cm) nên đường thẳng Δ cắt đường tròn (O).

4. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cần chú ý:

Đảm bảo đơn vị đo lường nhất quán.
Sử dụng đúng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Phân tích kỹ điều kiện của bài toán để đưa ra kết luận chính xác.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O; 6cm) và đường thẳng Δ cách O một khoảng 7cm. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ và đường tròn (O).
Bài 2: Cho đường tròn (O; 3cm) và đường thẳng Δ có phương trình 4x - 3y + 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ và đường tròn (O), biết O(0; 0).

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Chúc các em học tập tốt!