Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11: Lý thuyết và Ví dụ

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi gọi là công bội (q). Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng đi vào định nghĩa và các tính chất quan trọng của cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:

u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Tính chất của cấp số nhân

Một số tính chất quan trọng của cấp số nhân:

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
- Nếu q = 1: S_n = n.a
- Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

3. Ví dụ minh họa

Xét cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 3. Khi đó:

u₂ = 2 * 3 = 6
u₃ = 6 * 3 = 18
u₄ = 18 * 3 = 54

Tổng 4 số hạng đầu tiên là: S₄ = 2 + 6 + 18 + 54 = 80

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11: Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về cấp số nhân, chúng ta cần nắm vững các công thức và áp dụng linh hoạt các phương pháp sau:

1. Xác định số hạng đầu và công bội

Đây là bước quan trọng nhất để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về số hạng đầu (u₁) và công bội (q) hoặc các dữ kiện để chúng ta có thể tính toán chúng.

2. Sử dụng công thức số hạng tổng quát

Công thức u_n = a.q^n-1 giúp chúng ta tính toán bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội.

3. Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên

Công thức S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1) giúp chúng ta tính tổng các số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

4. Các dạng bài tập thường gặp

Tìm số hạng thứ n của cấp số nhân.
Tìm công bội của cấp số nhân.
Tìm tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Chứng minh một số là số hạng của cấp số nhân.

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11: Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, chúng ta hãy cùng giải một số bài tập vận dụng:

Cho cấp số nhân có u₁ = 3 và q = 2. Tính u₅ và S₅.
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = -2.
Cho cấp số nhân có u₂ = 4 và u₅ = 32. Tìm u₁ và q.

(Đáp án và lời giải chi tiết sẽ được cung cấp trong phần tài liệu tham khảo.)

Kết luận

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất, công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài kiểm tra. Chúc các em học tốt!