Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11

1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:

\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý:

- Nếu q = 1 thì cấp số nhân là dãy số không đổi: \({u_1},{u_1},...,{u_1},...\)

- Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11: Tổng quan và Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi, gọi là công bội. Hiểu rõ định nghĩa này là bước đầu tiên để nắm vững toàn bộ lý thuyết về cấp số nhân.

Định nghĩa Cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:

u_n+1 = q * u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là u₁.

Các Tính chất Quan trọng của Cấp số nhân

Cấp số nhân có một số tính chất quan trọng cần lưu ý:

Nếu u₁ ≠ 0 và q ≠ 0 thì tất cả các số hạng của cấp số nhân đều khác 0.
Nếu q = 1 thì cấp số nhân trở thành một dãy số không đổi, tất cả các số hạng đều bằng u₁.
Nếu q = -1 thì cấp số nhân là một dãy số thay đổi dấu, các số hạng luân phiên dương và âm.

Công thức Tổng quát của Cấp số nhân

Công thức tổng quát của cấp số nhân có dạng:

u_n = u₁ * q^n-1

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân
u₁ là số hạng đầu tiên
q là công bội
n là số thứ tự của số hạng

Tổng của n Số hạng Đầu tiên của Cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n * u₁

Ứng dụng của Lý thuyết Cấp số nhân

Lý thuyết cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính lãi kép trong ngân hàng và tài chính.
Mô tả sự tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân trong các hiện tượng tự nhiên và xã hội.
Giải các bài toán về hình học, vật lý và các lĩnh vực khác.

Bài tập Vận dụng

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, hãy thử giải các bài tập sau:

Cho cấp số nhân có u₁ = 2 và q = 3. Tính u₅ và S₅.
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 1 và công bội q = -2.
Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 5 năm người đó có bao nhiêu tiền (giả sử lãi kép)?

Lưu ý Quan trọng

Khi giải các bài toán về cấp số nhân, cần chú ý:

Xác định đúng số hạng đầu tiên (u₁) và công bội (q).
Sử dụng đúng công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên.
Kiểm tra điều kiện của công thức (ví dụ: q ≠ 1).

Hy vọng bài học về Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!