Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 - Cùng khám phá Toán 11 tập 1

1. Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

• f(x₀) xác định.
• lim_x→x0 f(x) tồn tại.
• lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại điểm x₀.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải từ bên phải tại a và liên tục trái tại b.

3. Các tính chất của hàm số liên tục:

Các hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của chúng:

• Hàm đa thức.
• Hàm phân thức hữu tỷ (tức là hàm có dạng P(x)/Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức và Q(x) ≠ 0).
• Hàm lượng giác (sin x, cos x, tan x, cot x).
• Hàm căn thức (√x, ³√x, ...).
• Hàm mũ và hàm logarit.

Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x₀ thì:

• f(x) + g(x) liên tục tại x₀.
• f(x) - g(x) liên tục tại x₀.
• f(x) * g(x) liên tục tại x₀.
• f(x) / g(x) liên tục tại x₀ (với g(x₀) ≠ 0).

4. Ứng dụng của hàm số liên tục:

Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, ví dụ:

• Giải phương trình và bất phương trình.
• Tính giới hạn của hàm số.
• Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số.
• Ứng dụng trong vật lý, kinh tế, kỹ thuật,...

5. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh rằng hàm số này liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Giải:

Hàm số f(x) = x² + 1 là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên tập số thực. Vậy, hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Bài 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục tại những điểm nào?

Giải:

Hàm số f(x) = 1/x là một hàm phân thức hữu tỷ. Hàm số này liên tục tại mọi điểm x ≠ 0. Tại x = 0, hàm số không xác định, do đó nó không liên tục tại x = 0.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức:

Để nắm vững kiến thức về hàm số liên tục, các em nên làm thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Chúc các em học tập tốt!