Bài 3.13 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Vật lí, tỉ số giữa tốc độ c của ánh sáng trong chân không và của tốc độ v của ánh sáng trong một môi trường được gọi là chiết suất của môi trường đó. Chiết suất của một môi trường đồng nhất là không đổi. Ngày nay, với công nghệ nano, người ta tạo ra được các bản thủy tinh mà chiết suất của nó thay đổi theo một phương nào đó. Xét sự truyền của ánh sáng vào bản thủy tinh dọc theo trục Ox như Hình 3.9. Biết chiết suất của bản thủy tinh này thay đổi theo hoành độ x cho bởi: \(n\left( x \right) = \frac{a}{{a - x}}\) với \(0 \le x \le d\), trong đó \(a\) là một hằng số có giá trị lớn hơn bề dày \(d\) của bản thủy tinh.

a) Chứng minh rằng tốc độ của ánh sáng cho bởi: \(v\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\\c\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,0 \le x \le d\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > d\end{array} \right.\)

b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = v\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết

a, Khi \(x < 0\) hay \(x > d\) thì ánh sáng ở môi trường chân không nên \(v\left( x \right) = c\)

Khi \(0 \le x \le d\) thì \(\frac{c}{{v\left( x \right)}} = \frac{a}{{a - x}}\) vì \(n\left( x \right) = \frac{c}{{v\left( x \right)}}\), do đó \(\frac{{v\left( x \right)}}{c} = \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow v\left( x \right) = c.\frac{{a - x}}{a} = c\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)\)

b, 

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Hàm số \(y = v\left( x \right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\), \(\left( {0;d} \right)\) và \(\left( {d; + \infty } \right)\)

+ Với \(x = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} v\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} c = c;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} v\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} c\left( {1 - \frac{x}{a}} \right) = c\left( {1 - \frac{0}{a}} \right) = c\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} v\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} v\left( x \right) = v\left( 0 \right)\) nên hàm số \(v\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\)

+ Với \(x = d \Rightarrow v\left( d \right) = c\left( {1 - \frac{d}{a}} \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} v\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} c\left( {1 - \frac{x}{a}} \right) = c\left( {1 - \frac{d}{a}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} v\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} c = c\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ - }} v\left( x \right) \ne \,\mathop {\lim }\limits_{x \to {d^ + }} v\left( x \right)\) nên hàm số \(y = v\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = d\)

Vậy hàm số \(y = v\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). Hàm số \(y = v\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;d} \right)\) và \(\left( {d; + \infty } \right)\)