THCS
THCS
Bài 4.11 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học về phương trình đường thẳng trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để viết phương trình đường thẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. Lấy I là trung điểm của đoạn BC.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. Lấy I là trung điểm của đoạn BC.
a) Chứng minh rằng MN // BD.
b) Gọi L, H lần lượt là giao điểm của SB, SD với mặt phẳng (MNI). Chứng minh rằng LH // BD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng định lý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
b) - Cách tìm giao điểm của một đường thẳng a với một mặt phẳng (P):
+ Bước 1: Tìm \(\left( Q \right) \supset a\). Tìm \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)
+ Bước 2: Tìm \(I = a \cap d\). I chính là giao điểm của a và (P).
- Áp dụng hệ quả: Nếu 2 mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong 2 đường thẳng đó
Lời giải chi tiết
a) Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm AD
\( \Rightarrow SM = \frac{2}{3}SE,SN = \frac{2}{3}SF\)
Xét tam giác SEF có: \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN/EF\)
Xét tam giác ABD có E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD nên \(EF//BD\)
Vậy \(MN//BD\).
b) Trong (ABCD), gọi \(G\left( {G \in CD} \right)\) sao cho \(IG//BD\), gọi \(P = AB \cap IG,Q = AD \cap IG\).
Mở rộng (MNI) thành (MNQP)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}M \in SE \subset \left( {SAB} \right)\\P \in AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MP \subset \left( {SAB} \right)\\MP \subset \left( {MNQP} \right)\\ \Rightarrow MP = \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNQP} \right)\end{array}\)
Gọi \(L = SB \cap MP\)\( \Rightarrow L = SB \cap \left( {MNQP} \right)\)(1)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}N \in SF \subset \left( {SAD} \right)\\Q \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NQ \subset \left( {SAD} \right)\\NQ \subset \left( {MNQP} \right)\\ \Rightarrow NQ = \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNQP} \right)\end{array}\)
Gọi \(H = SD \cap NQ\)\( \Rightarrow H = SD \cap \left( {MNQP} \right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(LH = \left( {SBD} \right) \cap \left( {MNQP} \right)\)
Mà \(BD//MN\) (phần a)
\( \Rightarrow LH//BD//MN\).
Bài 4.11 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Phân tích bài toán:
Để giải bài 4.11, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Vì đường thẳng này song song với đường thẳng đã cho, nên vectơ chỉ phương của nó cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho. Sau đó, ta sử dụng điểm mà đường thẳng đi qua và vectơ chỉ phương để viết phương trình đường thẳng.
Lời giải chi tiết:
Giả sử đường thẳng cần tìm có phương trình là:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Trong đó:
(x0, y0, z0) là tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua.(a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.Để tìm vectơ chỉ phương (a, b, c), ta sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng song song đã cho. Nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho là (a', b', c'), thì (a, b, c) = k(a', b', c') với k là một số thực khác 0.
Sau khi tìm được vectơ chỉ phương, ta thay tọa độ điểm và vectơ chỉ phương vào phương trình đường thẳng để được phương trình đường thẳng cần tìm.
Ví dụ minh họa:
Cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d có phương trình:
x = 2 + t
y = 1 - t
z = 4 + 2t
Hãy viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với d.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương (1, -1, 2). Vì Δ song song với d, nên Δ cũng có vectơ chỉ phương (1, -1, 2).
Vậy phương trình đường thẳng Δ là:
x = 1 + t
y = 2 - t
z = 3 + 2t
Lưu ý:
Khi viết phương trình đường thẳng, cần chú ý đến dạng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Bài tập tương tự:
x = 3 - 2t, y = 4 + t, z = 1 - t.Kết luận:
Bài 4.11 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và dễ hiểu này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và có thể tự giải các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
