THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình SGK Toán 11 tại montoan.com.vn. Đây là một chủ đề quan trọng, nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn một cách tiếp cận toàn diện, từ định nghĩa cơ bản, các tính chất quan trọng đến các phương pháp giải bài tập thường gặp. Hãy cùng bắt đầu khám phá!
1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng
A. Lý thuyết
1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho phương trình \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\). - Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Lưu ý: Với a > 0 và \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì phương trình \({a^x} = b\) trở thành \({a^x} = {a^\alpha }\). Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:
\({a^{A(x)}} = {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) = B(x)\).
2. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho bất phương trình \({a^x} > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu \(b \le 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). - Nếu b > 0 và: + a > 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\). + 0 < a < 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\). |
Lưu ý:
Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\).
Với a > 0, \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì bất phương trình \({a^x} > b\) trở thành \({a^x} > {a^\alpha }\). Khi đó:
- Nếu a > 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x > \alpha \).
- Nếu 0 < a < 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x < \alpha \).
Một cách tổng quát, ta có:
- Khi a > 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) > B(x)\).
- Khi 0 < a < 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) < B(x)\).
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9}\).
b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5\).
Giải:
a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = {\log _3}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 3\).
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.
b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.4^x} + {4.4^x} = 5 \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) \({2^x} \ge \frac{1}{{32}}\).
b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15\).
Giải:
a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({2^x} \ge \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge - 5\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \([ - 5; + \infty )\).
b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow \frac{5}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 6 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}6\) (do cơ số \(\frac{1}{2} < 1\)).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ;{\log _{\frac{1}{2}}}6)\).
Phương trình và bất phương trình mũ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản và các phương pháp giải quyết. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết này, bao gồm định nghĩa, tính chất, và các kỹ thuật giải bài tập thường gặp.
1. Phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát của phương trình mũ là: ax = b, trong đó a là một số dương khác 1 và b là một số thực dương.
2. Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát của bất phương trình mũ là: ax < b hoặc ax > b, trong đó a là một số dương khác 1 và b là một số thực dương.
3. Hàm số mũ: Hàm số mũ có dạng y = ax, trong đó a là một số dương khác 1. Hàm số mũ có tính chất đơn điệu (tăng hoặc giảm) tùy thuộc vào giá trị của a.
1. Tính chất đơn điệu:
2. Tính chất bảo toàn bất đẳng thức:
Nếu a > 1, thì ax1 < ax2 tương đương với x1 < x2. Nếu 0 < a < 1, thì ax1 < ax2 tương đương với x1 > x2.
1. Đưa về cùng cơ số: Đây là phương pháp phổ biến nhất. Nếu có thể đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số, ta có thể giải bằng cách cho số mũ bằng nhau.
Ví dụ: 2x+1 = 8 <=> 2x+1 = 23 <=> x + 1 = 3 <=> x = 2
2. Lấy logarit hai vế: Nếu không thể đưa về cùng cơ số, ta có thể lấy logarit hai vế của phương trình với một cơ số bất kỳ (thường là logarit cơ số 10 hoặc logarit tự nhiên).
Ví dụ: 3x = 5 <=> log3(3x) = log3(5) <=> x = log3(5)
3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.
1. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ: Nếu a > 1, ta có thể bỏ cơ số và giữ nguyên chiều bất đẳng thức. Nếu 0 < a < 1, ta phải đổi chiều bất đẳng thức khi bỏ cơ số.
Ví dụ:
2. Lấy logarit hai vế: Tương tự như phương trình mũ, ta có thể lấy logarit hai vế của bất phương trình mũ.
Bài 1: Giải phương trình 4x - 5.2x + 4 = 0
Đặt t = 2x (với t > 0). Phương trình trở thành: t2 - 5t + 4 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được t = 1 hoặc t = 4.
Nếu t = 1, thì 2x = 1 <=> x = 0. Nếu t = 4, thì 2x = 4 <=> x = 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 và x = 2.
Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp giải quyết sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cần thiết.
