THCS
THCS
Bài 3.18 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh giải các phương trình lượng giác cơ bản. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và giải phương trình.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm các giới hạn
Đề bài
Tìm các giới hạn
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, c Đây là giới hạn một bên của hàm số
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của một thương
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \), với mọi số thực \(a\).
b, Đây là giới hạn một bên của hàm số
Dạng vô định \(\frac{0}{0}\) nên ta phải thực hiện khử dạng vô định
Lời giải chi tiết
a,
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.2 + 1 = 5 > 0\)
Với \(x > 2\) thì \(x - 2 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
b,
Với \(x < 1\) thì \(\left| {x - 1} \right| = - \left( {x - 1} \right)\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\)
c,
Với \(x < 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = - x\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{ - x}}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 1 > 0\)
Với \(x < 0\) thì \( - x > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\) dó đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{ - x}} = + \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2}} }} = + \infty \)
Bài 3.18 SGK Toán 11 tập 1 bao gồm các phương trình lượng giác cơ bản, thường gặp trong chương trình học. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, các phương pháp biến đổi phương trình và các kỹ năng giải phương trình lượng giác.
Bài tập 3.18 thường bao gồm các dạng phương trình sau:
Để giải các phương trình lượng giác trên, ta sử dụng các bước sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Tập giá trị của hàm sin là [-1, 1]. Vì 1/2 thuộc [-1, 1] nên phương trình có nghiệm.
Nghiệm đặc biệt: sin(π/6) = 1/2
Công thức nghiệm tổng quát: x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π, với k ∈ Z
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√3/2
Tập giá trị của hàm cos là [-1, 1]. Vì -√3/2 thuộc [-1, 1] nên phương trình có nghiệm.
Nghiệm đặc biệt: cos(5π/6) = -√3/2
Công thức nghiệm tổng quát: x = 5π/6 + k2π hoặc x = -5π/6 + k2π, với k ∈ Z
Phương trình lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải Bài 3.18 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 và các bài tập lượng giác khác. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!
