Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số (fleft( x right)) tại điểm ({x_0}) với
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) với
a) \(f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^7}\) và \({x_0} = 4\)
b) \(f\left( x \right) = \sin 2x\) tại \({x_0} = \frac{\pi }{3}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\); Sau đó thay \({x_0}\) vào \(f''\left( x \right)\)
b) Áp dụng công thức \(\left( {\cos u} \right) = - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right) = u'.\cos u\); Sau đó thay \({x_0}\) vào \(f''\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(f'\left( x \right) = 7.{\left( {x - 2} \right)^6}.\left( {x - 2} \right)' = 7.{\left( {x - 2} \right)^6}\)
\(f''\left( x \right) = 7.6.{\left( {x - 2} \right)^5}.\left( {x - 2} \right)' = 42.{\left( {x - 2} \right)^5}\)
Thay \({x_0} = 4\) vào \(f''\left( x \right)\) ta được
b) \(f'\left( x \right) = \cos 2x.\left( {2x} \right)' = 2\cos 2x\)
\(f''\left( x \right) = - 2\sin 2x.\left( {2x} \right)' = - 4\sin 2x\)
Thay \({x_0} = \frac{\pi }{3}\) vào \(f''\left( x \right)\) ta được \(f''\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 4\sin \frac{{2\pi }}{3} = - 2\sqrt 3 \)
Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích - Tổng quan
Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Nội dung bài tập
Bài tập 7.10 thường bao gồm các dạng bài sau:
- Xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Giải các bài toán tối ưu hóa dựa trên đạo hàm.
- Khảo sát hàm số bằng đạo hàm.
Phương pháp giải bài tập
Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong Bài 7.10, học sinh cần nắm vững các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số.
- Tìm các điểm tới hạn (điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định).
- Khảo sát dấu của đạo hàm cấp nhất trên các khoảng xác định để xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tính đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần).
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
Giải:
- Tập xác định: D = ℝ
- Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x2 - 6x
- Tìm điểm tới hạn: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Khảo sát dấu của y':
- x < 0: y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0)
- 0 < x < 2: y' < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
- x > 2: y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞)
- Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
- Xác định cực trị:
- x = 0: y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ymax = 2
- x = 2: y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, ymin = -2
Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý:
- Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm chính xác.
- Phân tích dấu của đạo hàm một cách cẩn thận.
- Kết luận đúng về khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 7.11 trang 47 SGK Toán 11 tập 2
- Bài 7.12 trang 48 SGK Toán 11 tập 2
- Các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 tập 2
Kết luận
Bài 7.10 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức và phương pháp giải đã trình bày, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
