Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình SGK Toán 11 của montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn hiểu rõ và áp dụng vào giải các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi sẽ đi sâu vào định nghĩa, điều kiện liên tục, các tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục. Mục tiêu là giúp bạn xây dựng một nền tảng vững chắc để tiếp tục học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.
I. Hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng
I. Hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét:
- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.
- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
II. Một số định lí cơ bản
1. Định lí 1
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Định lí 2
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
c, Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng K và \(f(x) \ge 0,\forall x \in K\). Khi đó hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) liên tục trên K.
Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích. Nó đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau.
1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
- f(x0) xác định.
- limx→x0 f(x) tồn tại.
- limx→x0 f(x) = f(x0)
Nói cách khác, hàm số liên tục tại một điểm nếu đồ thị của nó không bị đứt gãy tại điểm đó.
2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Các tính chất của hàm số liên tục
- Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
- Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
- Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
4. Các hàm số liên tục thường gặp
- Hàm đa thức là hàm số liên tục trên R.
- Hàm phân thức là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
- Hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
- Hàm căn bậc chẵn là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
5. Ứng dụng của hàm số liên tục
Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
- Giải phương trình và bất phương trình.
- Tính giới hạn và đạo hàm.
- Nghiên cứu các bài toán tối ưu hóa.
- Mô tả các hiện tượng vật lý và kinh tế.
6. Ví dụ minh họa
Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Đây là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên R. Điều này có nghĩa là tại bất kỳ điểm nào x0, ta luôn có limx→x0 f(x) = f(x0).
7. Bài tập vận dụng
Hãy xác định xem hàm số sau có liên tục tại điểm x = 2 hay không:
f(x) = { x + 1, nếu x < 2; 3, nếu x = 2; x2 - 1, nếu x > 2 }
Để giải bài tập này, bạn cần kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Nếu một trong ba điều kiện không được thỏa mãn, hàm số sẽ không liên tục tại điểm đó.
8. Kết luận
Lý thuyết hàm số liên tục là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.
