Bài 4. Khoảng cách

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11: Tổng quan

Bài 4 trong SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu khoảng cách trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Bài học này cung cấp các công cụ và phương pháp để tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau, bao gồm đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, và giữa hai mặt phẳng.

1. Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) trong không gian được tính theo công thức:

d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:

{ x = x₁ + at y = y₁ + bt z = z₁ + ct }

Ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một điểm A thuộc Δ (chọn t = 0).
2. Tính vector a = (a, b, c) là vector chỉ phương của Δ và vector AM = (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁).
3. Tính tích có hướng AM x a.
4. Khoảng cách d = ||AM x a|| / ||a||

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song, ta chọn một điểm A thuộc Δ₁ và tính khoảng cách từ A đến Δ₂.

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ₁ và Δ₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector chỉ phương a của Δ₁ và b của Δ₂.
2. Tính vector AB, với A thuộc Δ₁ và B thuộc Δ₂.
3. Tính tích hỗn tạp [a, b, AB].
4. Khoảng cách d = |[a, b, AB]| / ||a x b||

6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Nếu hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) song song, ta chọn một điểm A thuộc (P₁) và tính khoảng cách từ A đến (P₂).

Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau trong SGK Toán 11 tập 2:

• Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
• Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ.
• Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P).
• Bài 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
• Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Bài 6: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Kết luận

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về khoảng cách trong không gian. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp.