Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1: Giải phương trình lượng giác
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = 3 - \frac{2}{n};\)
b) \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}};\)
c) \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}};\)
d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.n!.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy số tăng.
Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{2}{{n + 1}} - 3 + \frac{2}{n} = 2\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} - 1 - \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^n}}}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = - \frac{1}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n + 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}} = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{1}{{2n + 1}} - \frac{1}{{2n - 1}}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
d)
\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right).n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = - \left( {n + 1} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1: Giải phương trình lượng giác - Hướng dẫn chi tiết
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
sin(x - π/6) = -√3/2
cos(2x + π/3) = 0
tan(x + π/4) = 1
Giải chi tiết:
a) sin(x - π/6) = -√3/2
Phương trình sin(x - π/6) = -√3/2 tương đương với:
- x - π/6 = -π/3 + k2π, k ∈ Z
- x - π/6 = π + π/3 + k2π, k ∈ Z
Giải hai phương trình trên, ta được:
- x = -π/6 + k2π, k ∈ Z
- x = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
b) cos(2x + π/3) = 0
Phương trình cos(2x + π/3) = 0 tương đương với:
2x + π/3 = π/2 + kπ, k ∈ Z
Giải phương trình trên, ta được:
2x = π/2 - π/3 + kπ = π/6 + kπ, k ∈ Z
x = π/12 + kπ/2, k ∈ Z
c) tan(x + π/4) = 1
Phương trình tan(x + π/4) = 1 tương đương với:
x + π/4 = π/4 + kπ, k ∈ Z
Giải phương trình trên, ta được:
x = kπ, k ∈ Z
Lưu ý quan trọng khi giải phương trình lượng giác:
- Sử dụng đúng công thức lượng giác: Nắm vững các công thức cộng, trừ, nhân, chia lượng giác, công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, v.v.
- Kiểm tra điều kiện xác định: Đối với các hàm tan và cot, cần đảm bảo mẫu số khác 0.
- Biết cách đưa phương trình về dạng cơ bản: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng sin(x) = a, cos(x) = a, tan(x) = a, với |a| ≤ 1.
- Viết nghiệm tổng quát: Sau khi tìm được nghiệm đặc biệt, cần viết nghiệm tổng quát để biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình.
Mở rộng kiến thức:
Ngoài bài 2.17, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu luyện tập khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải phương trình lượng giác.
Các dạng bài tập thường gặp về phương trình lượng giác bao gồm:
- Giải phương trình lượng giác cơ bản (sin(x) = a, cos(x) = a, tan(x) = a)
- Giải phương trình lượng giác lượng giác phức tạp (sử dụng các phép biến đổi lượng giác)
- Giải phương trình lượng giác chứa tham số
Kết luận:
Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn của montoan.com.vn, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải các bài tập tương tự.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị khác về Toán học tại montoan.com.vn!
