THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết Bài 5.15 trang 147 SGK Toán 11 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một du học sinh ở nước ngoài đã tìm hiểu mức lương của nhận viên thuộc một công ty và thu được Bảng 5.35 dưới đây. Nếu xét về lương thì có hay không sự bất bình đẳng giữa nam giới và nữ giới làm việc ở công ty này? Giải thích câu trả lời bằng cách dựa vào các tham số đo xu thế trung tâm (trung bình, trung vị, mốt) của mẫu số liệu.
Đề bài
Một du học sinh ở nước ngoài đã tìm hiểu mức lương của nhận viên thuộc một công ty và thu được Bảng 5.35 dưới đây. Nếu xét về lương thì có hay không sự bất bình đẳng giữa nam giới và nữ giới làm việc ở công ty này? Giải thích câu trả lời bằng cách dựa vào các tham số đo xu thế trung tâm (trung bình, trung vị, mốt) của mẫu số liệu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) \(\overline x \) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức
\(\overline x = \frac{1}{N}\left( {{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + ... + {c_k}{n_k}} \right)\) với \({c_k},{n_k}\) lần lượt là giá trị đại diện và tần số của nhóm thứ k
\({c_k}\) là trung bình cộng của đầu mút trái và đầu mút phải của nhóm đó.
+) Trung vị \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h\) trong đó \({L_m},{n_m},h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa trung vị. \(T\) là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa trung vị.
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{N}{2}\) , trong đó \(N\) là cỡ mẫu.
+) Công thức tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h\)
Lời giải chi tiết
+) Tính trung bình
Để ngắn gọn, ta lập bảng sau
Ta có lương trung bình của nam là \(\overline x = \frac{{1032}}{{61}} \approx 16,9\) USD
Lương trung bình của nữ là \(\overline x = \frac{{992}}{{59}} \approx 16,8\) USD
+) Tìm trung vị
Để ngắn gọn, ta lập bảng sau
Đối với nam thì \(\frac{N}{2} = \frac{{61}}{2} = 30,5\). Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng \(30,5\) là nhóm \(\left[ {12;20} \right)\) và đây là nhóm chứa trung bị với \({L_m} = 12,\) tần số \({n_m} = 32\), \(h = 20 - 12 = 8\), tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị là \(T = 12\)
Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 12 + \frac{{30,5 - 12}}{{32}}.8 \approx 16,6\)
Đối với nữa thì \(\frac{N}{2} = \frac{{59}}{2} = 29,5\). Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng \(29,5\) là nhóm \(\left[ {12;20} \right)\) và đây là nhóm chứa trung bị với \({L_m} = 12,\) tần số \({n_m} = 28\), \(h = 20 - 12 = 8\), tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị là \(T = 13\)
Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 12 + \frac{{29,5 - 13}}{{28}}.8 \approx 16,7\)
+) Tìm mốt
Đối với nam thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {12;20} \right)\) với \({L_m} = 12;h = 20 - 12 = 8\)
\(a = 32 - 12 = 20,b = 32 - 15 = 17\)
Áp dụng công thức tính mốt ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 12 + \frac{{20}}{{20 + 17}}.8 \approx 16,3\)
Đối với nam thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {12;20} \right)\) với \({L_m} = 12;h = 20 - 12 = 8\)
\(a = 28 - 13 = 15,b = 28 - 17 = 11\)
Áp dụng công thức tính mốt ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 12 + \frac{{15}}{{15 + 11}}.8 \approx 16,6\)
Dựa vào các tham số đo xu thế trung tâm ta nhận thấy xét về lương thì không có sự bất bình đẳng giữa nam giới và nữ giới.
Bài 5.15 trang 147 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Lời giải:
y' = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của đạo hàm cấp hai:
y'' = 6x - 6
Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
Lưu ý:
Trong quá trình giải bài tập, các em cần chú ý:
Mở rộng:
Ngoài việc tìm cực trị, đạo hàm còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của toán học và khoa học kỹ thuật, như:
Bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập khó, giúp các em học Toán 11 hiệu quả hơn.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải Bài 5.15 trang 147 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
| Giai đoạn | Nội dung |
|---|---|
| Bước 1 | Tính đạo hàm cấp một (y') |
| Bước 2 | Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ cực trị |
| Bước 3 | Tính đạo hàm cấp hai (y'') |
| Bước 4 | Xác định loại cực trị dựa trên dấu của y'' |
