THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 trên montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm số và ứng dụng của đạo hàm.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, giúp bạn học toán một cách hiệu quả nhất. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá bài học này ngay nhé!
Tìm các giới hạn:
Đề bài
Tìm các giới hạn:
a, \(\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}}\)
b, \(\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}}\)
c, \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}}\)
d, \(\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}}\)
e, \(\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất: \(\lim \frac{1}{n} = 0\),
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương;
\(\lim {q^n} = 0\)( nếu \(\left| q \right| < 1\))
Lời giải chi tiết
a, Ta có: \(\frac{{3n + 2}}{{4 - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{n}}}{{\frac{4}{n} - 1}}\)
Vì lim 3= 3, lim \(\frac{2}{n}\)=0, lim\(\frac{4}{n}\)=0, lim 1=1 nên \(\lim (3 + \frac{2}{n}) = 3\) và \(\lim (\frac{4}{n} - 1)\)= -1
Vậy \(\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}} = - 3\).
b, Ta có: \(\frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{{5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)
Vì lim 5= 5, lim 2=2, \(\lim \frac{2}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên \(\lim (5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}) = 5\) và \(\lim (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}) = 2\).
Vậy \(\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{5}{2}\).
c, Ta có: \(\)\(\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{n}}}{{\frac{{3n - 1}}{n}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2} + 4n + 2}}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}\)=\(\frac{{\sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}\)
Vì lim 1=1, lim 3=3, \(\lim \frac{4}{n} = 0\), \(\lim \frac{2}{{{n^2}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} = \lim \sqrt 1 = 1\) và \(\lim (3 - \frac{1}{n}) = 3\)
Vậy \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{1}{3}\)
d, Ta có: \(\frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = \frac{{\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{\frac{4}{{{n^2}}} + 1}}\)
Vì lim 1=1, \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{7}{{{n^2}}} = 0\); \(\lim \frac{4}{{{n^2}}} = 0\) nên \(\lim (\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}) = 0\) và \(\lim (\frac{4}{{{n^2}}} + 1) = 1\)
Vậy \(\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = 0\).
e, Ta có: \(\frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = \frac{{{{(\frac{2}{5})}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}}}{{1 + \frac{1}{{{5^n}}}}}\)
Vì lim 1=1 , \(\lim {(\frac{2}{5})^n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{5^n}}} = 0\) nên \(\lim \left[ {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}} \right] = 0\) và \(\lim \left( {1 + \frac{1}{{{5^n}}}} \right) = 1\)
Vậy \(\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = 0\).
Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương Hàm số lượng giác và ứng dụng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đặc biệt là các phép biến đổi hàm số để tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.
Bài tập yêu cầu xét hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định tập xác định của hàm số:
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Để hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) có nghĩa, cần thỏa mãn hai điều kiện sau:
Vậy, tập xác định của hàm số là D = [1/2; 3) ∪ (3; +∞).
2. Tìm tập giá trị của hàm số:
Để tìm tập giá trị của hàm số, ta xét phương trình y = f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x thuộc tập xác định D.
y = √(2x - 1) / (x - 3) => y2 = (2x - 1) / (x - 3)2
y2(x - 3)2 = 2x - 1 => y2(x2 - 6x + 9) = 2x - 1
y2x2 - 6y2x + 9y2 - 2x + 1 = 0 => y2x2 - (6y2 + 2)x + (9y2 + 1) = 0
Đây là phương trình bậc hai theo x. Để phương trình có nghiệm, điều kiện là:
Δ = (6y2 + 2)2 - 4y2(9y2 + 1) ≥ 0
36y4 + 24y2 + 4 - 36y4 - 4y2 ≥ 0 => 20y2 + 4 ≥ 0
Bất phương trình này luôn đúng với mọi y. Tuy nhiên, cần xét thêm điều kiện y ≥ 0 (vì √(2x - 1) ≥ 0).
Vậy, tập giá trị của hàm số là [0; +∞).
Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xác định tập xác định và tập giá trị của hàm số, một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1. Chúc bạn học tập tốt!
