1. Môn Toán
  2. Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1: Giải pháp học toán hiệu quả

Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 trên montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm số và ứng dụng của đạo hàm.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, giúp bạn học toán một cách hiệu quả nhất. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá bài học này ngay nhé!

Tìm các giới hạn:

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a, \(\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}}\)

b, \(\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}}\)

c, \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}}\)

d, \(\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}}\)

e, \(\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiếtBài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

Áp dụng tính chất: \(\lim \frac{1}{n} = 0\),

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương;

\(\lim {q^n} = 0\)( nếu \(\left| q \right| < 1\))

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \(\frac{{3n + 2}}{{4 - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{n}}}{{\frac{4}{n} - 1}}\)

Vì lim 3= 3, lim \(\frac{2}{n}\)=0, lim\(\frac{4}{n}\)=0, lim 1=1 nên \(\lim (3 + \frac{2}{n}) = 3\) và \(\lim (\frac{4}{n} - 1)\)= -1

Vậy \(\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}} = - 3\).

b, Ta có: \(\frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{{5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Vì lim 5= 5, lim 2=2, \(\lim \frac{2}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên \(\lim (5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}) = 5\) và \(\lim (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}) = 2\).

Vậy \(\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{5}{2}\).

c, Ta có: \(\)\(\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{n}}}{{\frac{{3n - 1}}{n}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2} + 4n + 2}}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}\)=\(\frac{{\sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}\)

Vì lim 1=1, lim 3=3, \(\lim \frac{4}{n} = 0\), \(\lim \frac{2}{{{n^2}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} = \lim \sqrt 1 = 1\) và \(\lim (3 - \frac{1}{n}) = 3\)

Vậy \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{1}{3}\)

d, Ta có: \(\frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = \frac{{\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{\frac{4}{{{n^2}}} + 1}}\)

Vì lim 1=1, \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{7}{{{n^2}}} = 0\); \(\lim \frac{4}{{{n^2}}} = 0\) nên \(\lim (\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}) = 0\) và \(\lim (\frac{4}{{{n^2}}} + 1) = 1\)

Vậy \(\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = 0\).

e, Ta có: \(\frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = \frac{{{{(\frac{2}{5})}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}}}{{1 + \frac{1}{{{5^n}}}}}\)

Vì lim 1=1 , \(\lim {(\frac{2}{5})^n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{5^n}}} = 0\) nên \(\lim \left[ {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}} \right] = 0\) và \(\lim \left( {1 + \frac{1}{{{5^n}}}} \right) = 1\)

Vậy \(\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = 0\).

Bạn đang khám phá nội dung Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương Hàm số lượng giác và ứng dụng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đặc biệt là các phép biến đổi hàm số để tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.

Nội dung bài tập 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1

Bài tập yêu cầu xét hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) và thực hiện các yêu cầu sau:

  1. Xác định tập xác định của hàm số.
  2. Tìm tập giá trị của hàm số.

Giải chi tiết bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1

1. Xác định tập xác định của hàm số:

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Để hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) có nghĩa, cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

  • 2x - 1 ≥ 0 => x ≥ 1/2
  • x - 3 ≠ 0 => x ≠ 3

Vậy, tập xác định của hàm số là D = [1/2; 3) ∪ (3; +∞).

2. Tìm tập giá trị của hàm số:

Để tìm tập giá trị của hàm số, ta xét phương trình y = f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x thuộc tập xác định D.

y = √(2x - 1) / (x - 3) => y2 = (2x - 1) / (x - 3)2

y2(x - 3)2 = 2x - 1 => y2(x2 - 6x + 9) = 2x - 1

y2x2 - 6y2x + 9y2 - 2x + 1 = 0 => y2x2 - (6y2 + 2)x + (9y2 + 1) = 0

Đây là phương trình bậc hai theo x. Để phương trình có nghiệm, điều kiện là:

Δ = (6y2 + 2)2 - 4y2(9y2 + 1) ≥ 0

36y4 + 24y2 + 4 - 36y4 - 4y2 ≥ 0 => 20y2 + 4 ≥ 0

Bất phương trình này luôn đúng với mọi y. Tuy nhiên, cần xét thêm điều kiện y ≥ 0 (vì √(2x - 1) ≥ 0).

Vậy, tập giá trị của hàm số là [0; +∞).

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1

  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi thực hiện các phép biến đổi.
  • Sử dụng các công thức và tính chất của hàm số một cách chính xác.
  • Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

Ứng dụng của bài tập 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1

Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xác định tập xác định và tập giá trị của hàm số, một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

  • Bài 3.2 trang 64 SGK Toán 11 tập 1
  • Bài 3.3 trang 65 SGK Toán 11 tập 1

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1. Chúc bạn học tập tốt!

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11