THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Lũy thừa trong chương trình SGK Toán 11 tại montoan.com.vn. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho các chương trình toán học nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa.
A. Lý thuyết 1. Lũy thừa với số mũ nguyên
A. Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. - Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. \({a^n} = a.a...a\) (n thừa số a). - Với \(a \ne 0\): \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\). |
Trong biểu thức \({a^n}\), ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.
Lưu ý:
- Với \(a \ne 0\) thì \({a^0} = 1\).
- \({0^0}\) với \({0^{ - n}}\) với \(n \in \mathbb{N}\) không có nghĩa.
Cho a, b là các số thực khác 0 và với các số nguyên m, n, ta có: +) \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) +) \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\) +) \({({a^m})^n} = {a^{m.n}}\) +) \({(a.b)^m} = {a^m}.{b^m}\) +) \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\) |
2. Lúy thừa với số mũ hữu tỉ
| Cho số thực b và số nguyên dương n \((n \ge 2)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\). |
Lưu ý:
- Với n lẻ và \(b \in \mathbb{R}\), có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
- Với n chẵn và:
+ b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.
+ b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu, giá trị dương kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{b}\).
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\). Lũy thừa của số a với số mũ r, kí hiệu \({a^r}\) xác định bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\). |
Lưu ý : \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) với a > 0 và \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\).
| Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. |
3. Lũy thừa với số mũ thực
Cho số thực a dương và số vô tỉ \(\alpha \), trong đó \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\) với \(({r_n})\) là một dãy số hữu tỉ. Giới hạn của dãy số \(({a^{{r_n}}})\) gọi là lũy thừa của số a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu \({a^\alpha }\). \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\). |
Lưu ý:
- Từ định nghĩa, ta có \({1^\alpha } = 1\) \((\alpha \in \mathbb{R})\).
- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số khác 0.
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
| Lũy thừa với số mũ thực dương có các tính chất tương tự lũy thừa vơi số mũ nguyên. |
B. Bài tập
Bài 1:
a) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn giá trị biểu thức:
\(A = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} + {(0,2)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}{.128^{ - 1}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 9}}\).
b) Rút gọn biểu thức: \(B = \left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{{{{(1 + {a^2})}^{ - 1}}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{{a^{ - 1}}}}} \right].\frac{{{a^{ - 1}}}}{{1 - {a^{ - 2}}}}\) \((a \ne 0,a \ne 1,a \ne - 1)\).
Giải:
a) \(A = {({3^{ - 1}})^{ - 10}}.{({3^3})^{ - 3}} + {({5^{ - 1}})^{ - 4}}.{({5^2})^{ - 2}} + {({2^7})^{ - 1}}.{({2^{ - 1}})^{ - 9}}\)
\( = {3^{10}}{.3^{ - 9}} + {5^4}{.5^{ - 4}} + {2^{ - 7}}{.2^9}\)
\( = {3^1} + {5^0} + {2^2} = 8\).
b) \(B = \left[ {a\sqrt 2 (1 + {a^2}) - 2\sqrt 2 a} \right].\frac{1}{{{a^3}(1 - {a^{ - 2}})}}\)
\( = (a\sqrt 2 + {a^3}\sqrt 2 - 2a\sqrt 2 ).\frac{1}{{{a^3} - a}}\)
\( = a\sqrt 2 ({a^2} - 1).\frac{1}{{a({a^2} - 1)}} = \sqrt 2 \).
Bài 2:
a) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}}\).
b) Rút gọn biểu thức \(C = \frac{{{x^{\frac{6}{5}}}y + x{y^{\frac{6}{5}}}}}{{\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}}}\) (x > 0, y > 0).
Giải:
a) Ta có \({\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{27}}}} = \frac{1}{3}\); \({9^{ - \frac{3}{2}}} = \sqrt {{9^{ - 3}}} = \sqrt {\frac{1}{{{9^3}}}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} } \right)^3} = \frac{1}{{27}}\).
Vậy \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{27}} = \frac{{10}}{{27}}\).
b) Với x, y là các số dương, theo định nghĩa, ta có \(C = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}}} = xy\).
Bài 3: Rút gọn biểu thức \(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 5 }}}}{{{{({a^{\sqrt 7 - 3}})}^{\sqrt 7 + 3}}}}\) (a > 0).
Giải:
\(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(\sqrt 7 - 3)(}}^{\sqrt 7 + 3)}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\).
Lũy thừa là một phép toán cơ bản trong toán học, thể hiện việc một số được nhân với chính nó một số lần nhất định. Trong chương trình SGK Toán 11, lý thuyết lũy thừa được trình bày một cách hệ thống, bao gồm các khái niệm, tính chất và ứng dụng quan trọng.
Với a là một số thực và n là một số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an, là tích của n thừa số bằng a:
an = a × a × ... × a (n thừa số)
Trong đó:
Lũy thừa có nhiều tính chất quan trọng, giúp đơn giản hóa các phép toán và giải quyết các bài toán phức tạp. Một số tính chất cơ bản bao gồm:
Ngoài số mũ nguyên, lũy thừa còn được định nghĩa với số mũ hữu tỉ. Ví dụ:
a1/n là căn bậc n của a, ký hiệu là n√a
am/n = (n√a)m
Lý thuyết lũy thừa có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để nắm vững lý thuyết lũy thừa, bạn cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số ví dụ:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: 23 + 32 - 51
Bài 2: Rút gọn biểu thức: (x2y)3 / (xy2)
Bài 3: Giải phương trình: 2x = 8
SGK Toán 11 thường tập trung vào các dạng bài tập sau:
Để học tốt lý thuyết lũy thừa, bạn nên:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Lũy thừa - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
