Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản

I. Giới thiệu chung về phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác là phương trình có chứa hàm số lượng giác. Việc giải phương trình lượng giác là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Bài 5 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào các phương trình lượng giác cơ bản, là nền tảng để giải các phương trình phức tạp hơn.

1. Các khái niệm cơ bản

• Nghiệm của phương trình lượng giác: Là giá trị của biến số (thường là x) thỏa mãn phương trình.
• Nghiệm lượng giác: Do tính tuần hoàn của hàm số lượng giác, phương trình lượng giác thường có vô số nghiệm.
• Nghiệm đặc biệt: Là các nghiệm nằm trong một khoảng xác định, thường là [0, 2π) hoặc (-π/2, π/2).

II. Các dạng phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải

1. Phương trình sin(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình sin(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm góc α sao cho sin(α) = a, với α ∈ [0, π/2].
2. Các nghiệm của phương trình có dạng:
• x = α + k2π (k ∈ Z)
• x = π - α + k2π (k ∈ Z)

2. Phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình cos(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm góc α sao cho cos(α) = a, với α ∈ [0, π].
2. Các nghiệm của phương trình có dạng:
• x = α + k2π (k ∈ Z)
• x = -α + k2π (k ∈ Z)

3. Phương trình tan(x) = a (với mọi a ∈ R)

Để giải phương trình tan(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm góc α sao cho tan(α) = a, với α ∈ (-π/2, π/2).
2. Các nghiệm của phương trình có dạng:
3. x = α + kπ (k ∈ Z)

4. Phương trình cot(x) = a (với mọi a ∈ R)

Để giải phương trình cot(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm góc α sao cho cot(α) = a, với α ∈ (0, π).
2. Các nghiệm của phương trình có dạng:
3. x = α + kπ (k ∈ Z)

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2

Ta có sin(π/6) = 1/2. Vậy:

• x = π/6 + k2π (k ∈ Z)
• x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2

Ta có cos(3π/4) = -√2/2. Vậy:

• x = 3π/4 + k2π (k ∈ Z)
• x = -3π/4 + k2π = 5π/4 + k2π (k ∈ Z)

Ví dụ 3: Giải phương trình tan(x) = 1

Ta có tan(π/4) = 1. Vậy:

IV. Lưu ý khi giải phương trình lượng giác

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của phương trình.
• Sử dụng đúng công thức lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác.
• Biết cách biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình.
• Thực hành giải nhiều bài tập để nắm vững kỹ năng.

V. Kết luận

Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học tập và nghiên cứu về lượng giác. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.