THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản, chương trình Toán 11. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa, công thức và phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản nhất. Mục tiêu là giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng linh hoạt vào các bài tập thực tế.
I. Phương trình tương đương
I. Phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
2. Các phép biến đổi tương đương
- Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
- Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
II. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Khi \( - 1 \le m \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
2. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi\( - 1 \le m \le 1\).
Khi \( - 1 \le m \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
4. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
III. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX 570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX 570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn về lượng giác và các ứng dụng của nó. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phương trình lượng giác cơ bản, dựa trên nội dung sách giáo khoa Toán 11.
Phương trình lượng giác là phương trình có chứa ẩn số là góc lượng giác. Ví dụ: sin(x) = 0, cos(x) = 1/2, tan(x) = 1.
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm của phương trình được xác định bởi:
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm của phương trình được xác định bởi:
Nghiệm của phương trình được xác định bởi: x = arctan(a) + kπ, k ∈ Z
Nghiệm của phương trình được xác định bởi: x = arccot(a) + kπ, k ∈ Z
Để giải phương trình lượng giác, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản sau:
Các bước giải phương trình lượng giác cơ bản thường bao gồm:
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Ta có: x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -1
Ta có: x = π + k2π, k ∈ Z
Khi giải phương trình lượng giác, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số lượng giác (ví dụ: tan(x) xác định khi cos(x) ≠ 0). Ngoài ra, cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo nghiệm tìm được thỏa mãn phương trình ban đầu.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
