Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Nền tảng vững chắc cho Toán học
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 tại montoan.com.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 11, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích và các ứng dụng thực tế.
Chúng tôi cung cấp hệ thống lý thuyết đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, kết hợp với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Dãy số
1. Dãy số
- Dãy số vô hạn
- Một hàm số\(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu là \(u\left( n \right) = {u_n}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
- Một hàm số \(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
*Nhận xét:
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.
- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\). Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\) là số hạng cuối.
II. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
- Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
- Phương pháp truy hồi:
- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)
- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
- Phương pháp mô tả.
III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
2. Dãy số bị chặn
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Tổng quan
Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Việc nghiên cứu dãy số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các khái niệm về giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Các khái niệm cơ bản về Dãy số
- Số hạng tổng quát: Một dãy số được xác định bởi công thức tính số hạng thứ n, ký hiệu là un.
- Dãy số tăng: Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n.
- Dãy số giảm: Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n.
- Dãy số không đổi: Dãy số (un) được gọi là dãy số không đổi nếu un+1 = un với mọi n.
- Dãy số bị chặn: Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n. Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n.
Các loại Dãy số đặc biệt
1. Dãy số cấp số cộng
Dãy số cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d). Công thức tổng quát của dãy số cấp số cộng là:
un = u1 + (n - 1)d
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cấp số cộng là:
Sn = n/2 * (u1 + un) = n/2 * [2u1 + (n - 1)d]
2. Dãy số cấp số nhân
Dãy số cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một lượng không đổi, gọi là công bội (q). Công thức tổng quát của dãy số cấp số nhân là:
un = u1 * q(n-1)
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:
Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Giới hạn của Dãy số
Giới hạn của một dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu limn→∞ un = L, nghĩa là các số hạng un của dãy số tiến gần đến L khi n đủ lớn.
Việc xét giới hạn của dãy số là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán về tính liên tục, đạo hàm và tích phân trong giải tích.
Ứng dụng của Dãy số trong thực tế
Dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
- Lãi kép: Tính toán số tiền lãi sau một thời gian nhất định khi gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất kép.
- Sự tăng trưởng dân số: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
- Sự phân rã phóng xạ: Mô tả sự phân rã của các chất phóng xạ.
- Chuỗi Fibonacci: Xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như sinh học, nghệ thuật và kiến trúc.
Bài tập vận dụng
Để củng cố kiến thức về lý thuyết dãy số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
- Tìm số hạng thứ 10 của dãy số (un) với u1 = 2 và d = 3.
- Tìm công bội của dãy số cấp số nhân 2, 6, 18, 54,...
- Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số cấp số cộng 1, 3, 5, 7,...
- Tìm giới hạn của dãy số un = 1/n.
Kết luận
Lý thuyết Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng kiến thức vào thực tế để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
