THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 tại montoan.com.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 11, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích và các ứng dụng thực tế.
Chúng tôi cung cấp hệ thống lý thuyết đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, kết hợp với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Dãy số
1. Dãy số
- Một hàm số\(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu là \(u\left( n \right) = {u_n}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
- Một hàm số \(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
*Nhận xét:
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.
- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\). Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\) là số hạng cuối.
II. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)
- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
2. Dãy số bị chặn
Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Việc nghiên cứu dãy số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các khái niệm về giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Dãy số cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d). Công thức tổng quát của dãy số cấp số cộng là:
un = u1 + (n - 1)d
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cấp số cộng là:
Sn = n/2 * (u1 + un) = n/2 * [2u1 + (n - 1)d]
Dãy số cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một lượng không đổi, gọi là công bội (q). Công thức tổng quát của dãy số cấp số nhân là:
un = u1 * q(n-1)
Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:
Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Giới hạn của một dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu limn→∞ un = L, nghĩa là các số hạng un của dãy số tiến gần đến L khi n đủ lớn.
Việc xét giới hạn của dãy số là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán về tính liên tục, đạo hàm và tích phân trong giải tích.
Dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết dãy số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng kiến thức vào thực tế để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
