Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1: Giải phương trình lượng giác
Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về công thức lượng giác và các phương pháp giải phương trình để tìm ra nghiệm của phương trình.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và các phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giới hạn sau:
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}}\)
b, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
c, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\sqrt {x + 11} - 3}}{{x + 2}}\)
d, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} + x + 10}}{{2{x^2} - 1}}\)
e, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5{x^3} + 9}}{{{x^4} + 1}}\)
g, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Tính giới hạn tử và mẫu để được giới hạn hàm số
b, Phân tích tử và rút gọn rồi tính giới hạn
c, Nhân liên hợp tử rồi rút gọn và tính giới hạn
d, e, Chia cả tử và mẫu cho x với bậc cao nhất và tính giới hạn
e, Đưa x ra khỏi dấu căn và rút gọn để tính giới hạn
Lời giải chi tiết
a, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + 3x + 5) = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 1) = 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}} = 5\)
b, Ta có : \(f(x) = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{(x + 3).(x - 2)}}{{(x - 2).(x + 2)}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 3) = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^2} - 4}} = \frac{5}{4}\).
c, Ta có: \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 11} - 3}}{{x + 2}} = \frac{{(\sqrt {x + 11} - 3)(\sqrt {x + 11} + 3)}}{{x + 2}} = \frac{{x + 11 - {3^2}}}{{x + 2}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 1 = 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\sqrt {x + 11} - 3}}{{x + 2}} = 1\)
d, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} + x + 10}}{{2{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x} + \frac{{10}}{{{x^2}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{3}{2}\)
e, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5{x^3} + 9}}{{{x^4} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + \frac{9}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^4}}}}} = 5\)
g, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} ) = - 1\).
Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
- sin(x) = 1/2
- cos(x) = -√3/2
- tan(x) = 1
- cot(x) = 0
Giải chi tiết:
1. sin(x) = 1/2
Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm là:
- x = π/6 + k2π (k ∈ Z)
- x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
2. cos(x) = -√3/2
Phương trình cos(x) = -√3/2 có nghiệm là:
- x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
- x = 7π/6 + k2π (k ∈ Z)
3. tan(x) = 1
Phương trình tan(x) = 1 có nghiệm là:
- x = π/4 + kπ (k ∈ Z)
4. cot(x) = 0
Phương trình cot(x) = 0 có nghiệm là:
- x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản:
Để giải các phương trình lượng giác cơ bản, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
- Đường tròn lượng giác: Hiểu rõ mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác và vị trí trên đường tròn lượng giác.
- Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: Nắm vững các giá trị sin, cos, tan, cot của các góc 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π,...
- Công thức lượng giác: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân đôi, chia đôi để biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn.
- Các phương pháp giải:
- Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng khi phương trình có dạng phức tạp.
- Phương pháp biến đổi tương đương: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng quen thuộc.
- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng khi phương trình có dạng f(x) = g(x).
Lưu ý:
- Khi giải phương trình lượng giác, cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo nghiệm không ngoại lai.
- Nghiệm của phương trình lượng giác thường có dạng tổng quát, bao gồm cả các nghiệm thuộc tập Z.
Ứng dụng của phương trình lượng giác:
Phương trình lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như:
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
- Kỹ thuật: Tính toán các thông số trong các mạch điện xoay chiều.
- Địa lý: Tính toán các góc và khoảng cách trên bề mặt Trái Đất.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các bạn học sinh có thể tự tin giải Bài 3.7 trang 74 SGK Toán 11 tập 1 và các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tốt!
