Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA = \sqrt 3 a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Cách tìm số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\):

+ Tìm giao tuyến d của (SCD) và (ACD).

+ Tìm \(a \subset \left( {SCD} \right)\) vuông góc với CD. Tìm \(b \subset \left( {ACD} \right)\) vuông góc với CD.

+ Tính \(\left( {a,b} \right)\).

Lời giải chi tiết

Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 2

SA vuông góc với CD (Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\))

AD vuông góc với CD

Nên (SAD) vuông góc với CD

Suy ra SD vuông góc với CD

Vậy góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\) là góc SDA

\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}\)

Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2: Giải chi tiết

Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, và các điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc, hoặc cắt nhau.

1. Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải bài tập, hãy cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là một vectơ song song với đường thẳng đó.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó.
Điều kiện hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.
Điều kiện hai đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
Điều kiện hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song và không vuông góc.

2. Phân tích bài toán và phương pháp giải

Bài 8.13 thường bao gồm các dạng bài tập sau:

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng cho trước.
Tìm giao điểm của hai đường thẳng (nếu có).
Xác định góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải thường bao gồm các bước sau:

Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.
Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không (để xác định hai đường thẳng song song).
Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương (để xác định hai đường thẳng vuông góc).
Nếu hai đường thẳng không song song và không vuông góc, chúng sẽ cắt nhau.
Để tìm giao điểm, giải hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng.

3. Giải chi tiết Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 (Ví dụ minh họa)

(Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2.)

Giải:

Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -1, 2).

Vectơ chỉ phương của d2 là b = (-1, 1, -1).

Ta thấy a = -b, do đó hai vectơ chỉ phương cùng phương. Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song.

4. Luyện tập và mở rộng

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng trong không gian, các em nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đường thẳng trong không gian trong thực tế.

5. Kết luận

Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng trên đây, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự một cách hiệu quả.

montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!