Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1 trong chương Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian của SGK Toán 11 tập 1, chương trình Cùng khám phá, là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về hình học không gian. Bài học này giới thiệu các khái niệm cơ bản về đường thẳng, mặt phẳng, các tính chất và mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là quan hệ song song.

I. Khái niệm cơ bản

1. Đường thẳng trong không gian:

• Đường thẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ cùng phương với vectơ có hướng của đường thẳng đó.
• Phương trình tham số của đường thẳng: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là tọa độ vectơ chỉ phương.

2. Mặt phẳng trong không gian:

• Mặt phẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ vectơ pháp tuyến.

II. Quan hệ song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0.

a.n = 0, với a là vectơ chỉ phương của đường thẳng và n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Đường thẳng song song với đường thẳng:

Đường thẳng song song với đường thẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương. Điều này có nghĩa là một vectơ chỉ phương là bội của vectơ chỉ phương kia.

a = k.b, với a và b là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và k là một số thực khác 0.

3. Mặt phẳng song song với mặt phẳng:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương. Điều này có nghĩa là một vectơ pháp tuyến là bội của vectơ pháp tuyến kia.

n₁ = k.n₂, với n₁ và n₂ là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và k là một số thực khác 0.

III. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 - t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 6 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là a = (2, 1, -1). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).

Ta có a.n = 2*2 + 1*(-1) + (-1)*1 = 4 - 1 - 1 = 2 ≠ 0. Vậy đường thẳng (d) không song song với mặt phẳng (P).

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về bài 1, các em nên tự giải các bài tập trong SGK và các bài tập nâng cao. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các khái niệm và vận dụng linh hoạt vào giải quyết các bài toán thực tế.

montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!