THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 11. Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng của hình học không gian.
Bài học này sẽ đi sâu vào các khái niệm cơ bản, tính chất và ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể tự kiểm tra và củng cố kiến thức.
I. Khái niệm mở đầu
I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
- Biểu diễn một mặt phẳng: Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Mặt phẳng (P) còn được viết là mp(P) hay (P).
2. Điểm thuộc mặt phẳng
- Điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, ta kí hiệu \(A \in (P)\)
- Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A, ta kí hiệu\(A \notin (P)\).
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
* Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
II. Các tính chất thừa nhận
1. Các tính chất
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu \(d \subset (P)\) hoặc \((P) \supset d\).
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu \(d = (P) \cap (Q)\).
- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Cách xác định mặt phẳng
- Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó chứa 3 điểm không thẳng hàng.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
III. Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
- Trong mặt phẳng (P), cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối S với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\)để được n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là hình chóp và kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
- Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\):
+ Điểm S được gọi là đỉnh.
+ Đa giác\({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là mặt đáy.
+ Các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là các mặt bên.
+ Các cạnh \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\)được gọi là cạnh bên; các cạnh\({A_1}{A_2},{A_2}{A_3}...,{A_n}{A_1}\) được gọi là các cạnh đáy.
*Chú ý: Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
2. Hình tứ diện
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chương trình Toán 11, đặc biệt là phần hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải có tư duy không gian tốt và khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo.
1. Đường thẳng trong không gian:
2. Mặt phẳng trong không gian:
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Đường thẳng cắt mặt phẳng:
Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và phương trình của mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Công thức tính góc φ:
sin φ = |(aA + bB + cC)| / (√(a2 + b2 + c2) * √(A2 + B2 + C2))
Trong đó: (a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Khoảng cách d từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)
Bài 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng P: 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.
Giải: Vectơ chỉ phương của d là u = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của P là n = (2, -1, 1). Ta thấy u.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 5 ≠ 0, do đó đường thẳng d cắt mặt phẳng P.
Để nắm vững kiến thức về Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn tự tin đối mặt với các bài kiểm tra và kỳ thi.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cần thiết về Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
