Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1: Giải phương trình lượng giác
Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
Đề bài
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right);\)
b) \(\cos 2\alpha ;\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right);\)
d) \(\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác để tính \(\cos \alpha ,\tan \alpha \). Áp dụng các công thức nhân đôi, công thức cộng để tính các giá trị lượng giác bài yêu cầu.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}}\\ \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {35} }}{6}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {35} }}\end{array}\)
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{1}{6}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {105} - 1}}{{12}}\)
b) \(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}} - {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{{17}}{{18}}\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt {35} }}}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {35} }}}} = \frac{{18 - \sqrt {35} }}{{17}}\)
d) \({\cos ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\cos \alpha + 1}}{2} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {35} }}{6} + 1}}{2} = \frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}\)
Mà \(\frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = - \sqrt {\frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}} \)
Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1: Giải phương trình lượng giác - Hướng dẫn chi tiết
Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
- sin(x - π/6) = -√3/2
- cos(2x + π/3) = 0
- tan(x + π/4) = 1
- cot(3x - π/2) = -1
Giải chi tiết:
a) sin(x - π/6) = -√3/2
Phương trình tương đương với:
- x - π/6 = -π/3 + k2π (k ∈ Z) => x = -π/6 + k2π (k ∈ Z)
- x - π/6 = π + π/3 + k2π (k ∈ Z) => x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
b) cos(2x + π/3) = 0
Phương trình tương đương với:
- 2x + π/3 = π/2 + kπ (k ∈ Z) => 2x = π/6 + kπ (k ∈ Z) => x = π/12 + kπ/2 (k ∈ Z)
- 2x + π/3 = -π/2 + kπ (k ∈ Z) => 2x = -5π/6 + kπ (k ∈ Z) => x = -5π/12 + kπ/2 (k ∈ Z)
c) tan(x + π/4) = 1
Phương trình tương đương với:
- x + π/4 = π/4 + kπ (k ∈ Z) => x = kπ (k ∈ Z)
d) cot(3x - π/2) = -1
Phương trình tương đương với:
- 3x - π/2 = -π/4 + kπ (k ∈ Z) => 3x = π/4 + kπ (k ∈ Z) => x = π/12 + kπ/3 (k ∈ Z)
Lưu ý quan trọng khi giải phương trình lượng giác:
Khi giải phương trình lượng giác, cần chú ý đến các điểm sau:
- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: Nắm vững các công thức cộng, trừ, nhân, chia góc, các công thức biến đổi lượng giác để đơn giản hóa phương trình.
- Xác định đúng nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác thường có dạng x = α + kπ hoặc x = α + k2π, với α là một nghiệm cụ thể và k là số nguyên.
- Kiểm tra lại nghiệm: Sau khi tìm được nghiệm tổng quát, nên kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình ban đầu để đảm bảo tính chính xác.
- Lưu ý điều kiện xác định: Đối với các hàm lượng giác tan và cot, cần chú ý đến điều kiện xác định của chúng để loại bỏ các nghiệm không hợp lệ.
Ứng dụng của việc giải phương trình lượng giác:
Việc giải phương trình lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
- Kỹ thuật: Phân tích các mạch điện xoay chiều.
- Toán học: Giải các bài toán hình học, lượng giác phức tạp.
Bài tập luyện tập:
Để củng cố kiến thức về giải phương trình lượng giác, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
- Giải phương trình: sin(2x) = 1/2
- Giải phương trình: cos(x/2) = √2/2
- Giải phương trình: tan(3x) = √3
Montoan.com.vn hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về cách giải Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
