Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11: Tổng quan

Bài 3 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu các phép biến đổi lượng giác cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức và kỹ năng biến đổi này là nền tảng để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Các công thức lượng giác cơ bản

Trước khi đi vào các phép biến đổi, chúng ta cần ôn lại các công thức lượng giác cơ bản sau:

• Công thức cộng và trừ góc:
  • sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
  • sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
  • cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
  • cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
  • tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))
  • tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))
• Công thức nhân đôi:
  • sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
  • cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
  • tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))
• Công thức hạ bậc:
  • sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2
  • cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
  • tan²(a) = (1 - cos(2a)) / (1 + cos(2a))

2. Các phép biến đổi lượng giác thường gặp

Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp các phép biến đổi lượng giác sau:

• Biến đổi tổng thành tích: Sử dụng các công thức để biến đổi tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác thành tích của các hàm lượng giác. Ví dụ:
  • sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
  • cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
• Biến đổi tích thành tổng: Sử dụng các công thức để biến đổi tích của các hàm lượng giác thành tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác. Ví dụ:
  • sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]
  • cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]
• Biến đổi hàm lượng giác về dạng đơn giản: Sử dụng các công thức để đưa hàm lượng giác về dạng đơn giản hơn, dễ dàng phân tích và giải quyết.

3. Ứng dụng của các phép biến đổi lượng giác

Các phép biến đổi lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong việc:

• Giải phương trình lượng giác: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn để tìm nghiệm.
• Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng các công thức và phép biến đổi để chứng minh đẳng thức.
• Tính giá trị của biểu thức lượng giác: Biến đổi biểu thức về dạng dễ tính toán.
• Giải các bài toán thực tế: Áp dụng kiến thức lượng giác để giải quyết các bài toán liên quan đến góc, độ dài, diện tích,...

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của sin(75^o).

Ta có: sin(75^o) = sin(45^o + 30^o) = sin(45^o)cos(30^o) + cos(45^o)sin(30^o) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: cos²(x) - sin²(x) = cos(2x).

Ta có: cos²(x) - sin²(x) = cos(x + x)cos(x - x) = cos(2x)cos(0) = cos(2x)

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về các phép biến đổi lượng giác, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong SGK, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!