Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị của chương trình Toán 11. Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp kiến thức nền tảng vững chắc, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, tính chất và ứng dụng của hàm số lượng giác.

Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, bài giảng được trình bày một cách dễ hiểu, kết hợp với các ví dụ minh họa sinh động, đảm bảo bạn có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\)

* Lưu ý:

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \) 0 sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x + T) = f(x)\)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì \(\pi \).

II. Hàm số lượng giác

1. Định nghĩa các hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

2. Đồ thị của các hàm số lượng giác

a, Hàm số y = sinx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

b, Hàm số y = cosx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

c, Hàm số y = tanx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d, Hàm số y = cotx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cùng khám phá trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11

Hàm số lượng giác đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số lượng giác là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học nâng cao và ứng dụng thực tế.

I. Các hàm số lượng giác cơ bản

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các hàm số lượng giác cơ bản sau:

Hàm số sin (y = sin x): Định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, đồ thị.
Hàm số cosin (y = cos x): Định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, đồ thị.
Hàm số tang (y = tan x): Định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, đồ thị.
Hàm số cotang (y = cot x): Định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, đồ thị.

II. Đồ thị hàm số lượng giác

Đồ thị hàm số lượng giác là biểu diễn hình học của hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Việc vẽ và phân tích đồ thị hàm số lượng giác giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, tìm ra các điểm đặc biệt như điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm đối xứng và các khoảng đồng biến, nghịch biến.

1. Đồ thị hàm số y = sin x:

Đồ thị hàm số sin x là một đường cong lượn sóng, có biên độ bằng 1, chu kỳ bằng 2π, và đối xứng qua gốc tọa độ. Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có tọa độ (kπ, 0) với k là số nguyên.

2. Đồ thị hàm số y = cos x:

Đồ thị hàm số cos x cũng là một đường cong lượn sóng, có biên độ bằng 1, chu kỳ bằng 2π, và đối xứng qua trục tung. Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có tọa độ (π/2 + kπ, 0) với k là số nguyên.

3. Đồ thị hàm số y = tan x:

Đồ thị hàm số tan x có các đường tiệm cận đứng tại các điểm x = π/2 + kπ với k là số nguyên. Đồ thị tan x không có tập giá trị trên toàn bộ tập xác định.

4. Đồ thị hàm số y = cot x:

Đồ thị hàm số cot x có các đường tiệm cận đứng tại các điểm x = kπ với k là số nguyên. Đồ thị cot x không có tập giá trị trên toàn bộ tập xác định.

III. Các phép biến hình trên đồ thị hàm số lượng giác

Để vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác phức tạp hơn, chúng ta có thể sử dụng các phép biến hình cơ bản như:

Phép tịnh tiến theo phương ngang: y = f(x - a)
Phép tịnh tiến theo phương dọc: y = f(x) + b
Phép co giãn theo phương ngang: y = f(kx)
Phép co giãn theo phương dọc: y = af(x)

IV. Ứng dụng của hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật, như:

Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
Kỹ thuật: Tính toán các góc, khoảng cách, độ cao.
Địa lý: Xác định vị trí, hướng đi.
Âm nhạc: Phân tích âm thanh, tạo ra các hiệu ứng âm thanh.

V. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về lý thuyết hàm số lượng giác và đồ thị, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x.
Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = tan(x + π/4).
Giải phương trình sin x = 1/2.
Chứng minh rằng hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ nắm vững lý thuyết hàm số lượng giác và đồ thị, từ đó đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.