THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình SGK Toán 11 của montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về đạo hàm cấp hai, giúp bạn hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, ý nghĩa, cách tính đạo hàm cấp hai, và các ứng dụng thực tế của nó trong việc giải quyết các bài toán toán học.
A. Lý thuyết 1. Đạo hàm cấp hai
A. Lý thuyết
1. Đạo hàm cấp hai
| Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với mọi \(x \in (a;b)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x). |
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
| Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t), tức là a(t) = s’’(t). |
B. Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} + \ln x\).
b) \(y = {\sin ^2}x\).
Giải:
a) Với x = 0, ta có \(y' = 4{x^3} + \frac{1}{x}\); \(y'' = \left( {4{x^3} + \frac{1}{x}} \right)' = 12{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\).
b) \(y' = 2\sin x\cos x = \sin 2x\); \(y'' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x\).
Bài 2: Một vật chuyển động thẳng với phương trình \(s(t) = {t^3} + t\). Tính gia tốc của vật chuyển động thẳng tại các thời điểm \({t_1} = 2\) và \({t_2} = 3\). Ở thời điểm nào trong hai thời điểm trên, vật tăng tốc nhanh hơn?
Giải:
Ta có \(s'(t) = 3{t^2} + 1\), \(a(t) = s''(t) = 6t\).
\(a({t_1}) = a(2) = 12\) (m/s); \(a({t_2}) = a(3) = 18\) (m/s).
Vì \(a({t_2}) > a({t_1})\) nên tại thời điểm \({t_2} = 3\) vật tăng tốc nhanh hơn.
Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, hay nói cách khác, nó mô tả độ cong của đồ thị hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) có đạo hàm, đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.
Công thức tính đạo hàm cấp hai:
f''(x) = (f'(x))'
Đạo hàm cấp hai có nhiều ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích hàm số:
Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x3 - 3x2 + 2x - 1
Giải:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
f''(x) = 6x - 6
Ví dụ 2: Tìm khoảng mà hàm số y = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 lồi và lõm.
Giải:
f'(x) = 4x3 - 12x2 + 12x - 4
f''(x) = 12x2 - 24x + 12 = 12(x - 1)2
Vì f''(x) ≥ 0 với mọi x, hàm số lồi trên toàn bộ tập số thực.
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu hơn về đạo hàm cấp hai và các ứng dụng của nó.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích. Chúc bạn học tốt!
